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第1章 矢量微分算符1

1.1标量场的方向导数与梯度1

方向导数1

梯度2

两点间距的梯度4

1.2矢量场的通量与散度4

通量4

散度5

散度的微分形式5

散度的运算法则6

格林公式7

1.3矢量场的环量与旋度7

环量7

旋度7

旋度的微分形式8

旋度的运算法则9

矢量微分运算的一般法则10

旋度定理10

矢量格林公式11

1.4圆柱坐标系中的矢量微分算符11

基本单位矢与？算符11

？2算符和散度、旋度12

1.5球坐标系中的矢量微分算符13

基本单位矢与？算符13

？2算符和散度、旋度14

1.6正交曲线坐标系中的矢量微分算符16

正交曲线坐标系 拉米系数16

正交曲线坐标系中的梯度17

正交曲线坐标系中的散度17

正交曲线坐标系中的旋度18

1.7电磁场法向分量边界条件的非独立性19

关于B 1n=B 2n19

关于D 2n—D 1n=ρ s20

1.8并矢及其代数运算21

并矢21

并矢的行矢量表象和列矢量表象22

并矢的转置22

并矢的代数运算23

几种特别的并矢24

1.9并矢的微分与积分26

并矢的微分运算26

并矢的积分运算27

正交曲线坐标系中的并矢微分公式28

常用并矢计算公式30

习题131

第2章 复变函数概要33

2.1复变函数与解析函数33

复数 复向量 复变函数33

解析函数33

柯西-黎曼条件34

解析函数的物理解释34

2.2复变函数的奇点35

极点 本性奇点 孤立奇点35

支点 割线 黎曼面36

2.3解析函数的有关定理36

柯西定理36

留数与留数定理37

柯西积分公式39

泰勒（Taylor）定理39

刘维尔（Liouville）定理40

2.4利用留数定理求积分40

2.5解析延拓45

解析函数的唯一性定理45

解析延拓45

幂级数的解析延拓46

2.6 Г函数的解析延拓与Г函数的常用公式47

Г函数的解析延拓47

Г函数的常用公式47

习题249

第3章 平面静电场问题的保角映射法50

3.1保角映射及其基本性质50

保角映射50

保角映射的条件50

像与原像的对应性51

边界对应定理52

保角映射的存在性和唯一性定理53

3.2利用保角映射求平面静电场的思想54

3.3基本映射56

线性映射56

幂映射57

根式映射57

指数映射59

对数映射59

3.4反演映射的保圆性和保对称点性61

反演映射的保圆性61

反演映射的保对称点性61

3.5分式线性映射62

分式线性映射与恒等变换62

分式线性映射的存在和唯一性定理63

传输线理论中的史密斯阻抗圆图65

3.6儒可夫斯基映射66

儒可夫斯基映射公式66

单位圆内部区域在儒可夫斯基映射下的像68

3.7多角形区域的映射69

多角形顶点的外角70

把多角形区域映射为上半平面70

无穷远顶点的外角71

有无穷远像点的情况72

3.8平行板电容器边缘附近的电场分布74

场区的保角映射74

利用复势分析电场76

习题378

第4章 二阶线性齐次常微分方程解法概论79

4.1引论79

二阶齐次方程的通解79

级数解及其存在性80

方程的奇点81

4.2正则奇点邻域内的正则解83

方程的正则奇点83

正则解与指标方程84

正则解的三种情况和夫罗比尼斯法85

4.3非正则奇点邻域内的常规解简介88

常规解88

二阶方程常规解的存在条件88

4.4斯特姆-刘维尔型本征值问题89

斯特姆-刘维尔型方程89

本征值问题89

边界条件的一般提法90

区间［a，b］上的函数f（x）按本征函数展开90

4.5解微分方程的WKB近似法91

解的基本形式92

转折点93

解析延拓与解的确定94

习题496

第5章 超几何微分方程的正则解98

5.1超几何微分方程与超几何级数98

三奇点福克斯型方程及其正则解的P符号表示98

超几何微分方程正则解的P符号99

超几何级数100

超几何多项式101

5.2 z=0邻域内的正则解102

5.3 z=1邻域内的正则解和P符号的奇点变换104

5.4 z=∞邻域内的正则解和P符号的指标变换105

习题5108

第6章 勒让德方程与勒让德函数109

6.1电磁场问题与勒让德方程109

场方程的分离变量109

P l（ζ）和P m l（ζ）的一般关系110

6.2奇点邻域内的正则解111

正则解的P符号111

ζ=1邻域内的正则解112

6.3勒让德多项式与连带的勒让德多项式113

勒让德多项式P l（ζ）113

连带的勒让德多项式P m l（ζ）与P -m l（ζ）116

6.4 P l（ζ）多项式的生成函数和递推公式117

生成函数117

P l（ζ）的递推关系118

P m l（ζ）的递推公式120

6.5正交关系121

正交关系式121

正交性的证明121

非正交时的积分122

函数f（ζ）按P l（ζ）和P m l（ζ）的展开式124

平面波用勒让德多项式展开124

6.6球谐函数126

球谐函数及其正交归一关系126

球坐标系中拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程的一般解127

习题6128

第7章 合流超几何微分方程129

7.1合流超几何微分方程129

合流超几何方程的基本形式129

z=0邻域的正则解 合流超几何函数129

z=∞邻域的常规解131

7.2拉盖尔方程与拉盖尔多项式133

拉盖尔方程 拉盖尔多项式133

L μ n（z）的生成函数135

L μ n（z）的递推关系135

正交关系136

7.3厄米特方程与厄米特多项式137

厄米特方程137

厄米特多项式Hn（ζ）138

H n（ζ）的生成函数与递推关系139

H n（ζ）的正交关系139

7.4惠泰克方程140

惠泰克方程与合流超几何方程的关系140

在z=0邻域内的正则解 惠泰克M函数141

z=∞邻域内的常规解142

惠泰克W函数143

7.5渐变折射率光纤中的惠泰克方程143

纤芯内的场方程143

化为惠泰克方程145

方程（7-5-13）的解145

习题7146

第8章 贝塞尔方程与贝塞尔函数147

8.1贝塞尔方程概述147

贝塞尔方程147

球贝塞尔方程147

与合流超几何微分方程和惠泰克方程的联系148

8.2贝塞尔方程在ζ=0邻域的正则解 三类贝塞尔函数148

第一类贝塞尔函数148

第二类贝塞尔函数150

第三类贝塞尔函数152

递推关系153

半奇数阶贝塞尔函数的初等函数形式154

8.3球贝塞尔函数155

8.4贝塞尔方程的本征值问题156

8.5贝塞尔函数的生成函数与积分表示158

生成函数158

平面波展开式159

J l（ζ）的积分表示159

汉克尔函数的积分表示160

8.6汉克尔函数的大宗量近似161

鞍点与最速下降路径162

鞍点法的近似公式163

H （1） l（x）的大宗量近似式164

8.7变型贝塞尔方程与变型贝塞尔函数165

方程形式165

第一类变型贝塞尔函数165

第二类变型贝塞尔函数166

递推关系和朗斯基行列式167

大宗量近似式168

贝塞尔方程在阶跃光纤中的应用168

8.8索末菲球面波公式169

波的能量守恒方程169

点源发出的功率169

柱坐标系中球面波方程的积分解170

系数C的确定171

习题8172

第9章 δ函数173

9.1一维δ函数的定义及基本性质173

δ函数的引入173

δ函数的导数174

δ（x）的其他性质174

δ函数的积分表示177

9.2分段可微函数的符号导数177

亥维赛单位阶跃函数H（x）177

符号导数178

分段可微函数f（x）的符号导数178

符号函数sgn x及其导数179

9.3三维δ函数180

定义180

δ函数的分离变量形式180

9.4以δ（r）为非齐次项的泊松方程181

三维情况181

二维情况182

一维情况182

习题9183

第10章 解非齐次方程定解问题的格林函数法184

10.1格林函数的物理意义和一般性质184

格林函数184

格林函数的物理意义185

格林函数的一般性质185

有界空间非齐次方程的形式解186

格林函数边界条件的选取187

10.2边值问题中的格林函数188

求格林函数的本征函数法188

一维格林函数的有限形式190

用镜像法求格林函数191

10.3无界稳恒波动问题中的格林函数193

三维格林函数 亥姆霍兹积分193

三维格林函数的级数形式194

二维格林函数196

10.4含时格林函数197

含时格林函数的定义198

互易关系199

含时边值问题的一般解200

有界空间的含时格林函数201

10.5无界空间的含时格林函数202

三维情况202

二维情况203

一维情况和达兰贝尔公式204

习题10205

第11章 变分法206

11.1泛函与变分206

泛函206

泛函的极值207

变分207

泛函的变分208

11.2泛函取极值的必要条件208

固定边界条件 欧拉变分方程209

自由边界条件210

两个参变量的情况211

11.3条件极值问题212

约束条件是泛函212

约束条件是多元函数214

11.4变分在边值问题中的应用216

边值问题中泛函的一般求法216

非齐次亥姆霍兹方程的边值问题217

本征值问题的泛函 最小本征值218

瑞利-里兹方法220

11.5变分原理222

正则变量222

变分原理222

欧拉-拉格朗日方程组223

变分原理与麦克斯韦方程组223

习题11224

第12章 非线性微分方程简介226

12.1典型非线性微分方程226

孤波和KdV方程226

SG方程227

NLS方程227

12.2行波法求解非线性微分方程227

KdV方程的孤波解228

SG方程的孤波解229

NLS方程的孤波解231

12.3逆散射法233

GGKM变换233

量子力学中的散射问题233

逆散射法234

12.4 KdV方程的单、双孤子解237

单孤子解237

双孤子解238

习题12241

部分习题参考答案242