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第1章 复数1

1.1 复数及其表示法1

1.1.1 复数的概念1

1.1.2 复数的表示法1

1.2 复数的运算及几何意义6

1.2.1 复数的加法和减法6

1.2.2 复数的乘法和除法7

1.2.3 复数的方根9

1.2.4 共轭复数及其运算性质10

1.2.5 曲线的复数方程16

1.3 平面点集和区域17

1.3.1 点集概念17

1.3.2 区域18

1.3.3 简单曲线19

1.3.4 单连通区域与多连通区域20

1.4 复球面与无穷远点23

1.4.1 复球面23

1.4.2 扩充复平面上的几个概念25

小结25

习题一27

第2章 解析函数30

2.1 复变函数30

2.1.1 复变函数的概念30

2.1.2 复变函数的极限和连续性36

2.2 解析函数的概念41

2.2.1 复变函数的导数41

2.2.2 解析函数的概念44

2.3 函数解析的充要条件45

2.4 解析函数与调和函数的关系51

2.5 初等函数56

2.5.1 指数函数57

2.5.2 对数函数58

2.5.3 幂函数60

2.5.4 三角函数61

2.5.5 反三角函数与反双曲函数64

小结66

习题二67

第3章 复变函数的积分70

3.1 复变函数的积分70

3.1.1 复变函数积分的概念70

3.1.2 积分的存在性及其计算公式71

3.1.3 积分的基本性质76

3.2 柯西（Cauchy）定理77

3.2.1 柯西定理的表述与推论78

3.2.2 原函数与不定积分79

3.2.3 柯西定理的推广81

3.3 柯西积分公式84

3.4 解析函数的高阶导数87

3.4.1 解析函数的重要性质87

3.4.2 柯西不等式92

3.4.3 解析函数的等价概念92

小结93

习题三95

第4章 级数99

4.1 复数项级数与复函数项级数99

4.1.1 数列的极限99

4.1.2 复数项级数100

4.1.3 复函数项级数104

4.2 幂级数105

4.2.1 幂级数的概念105

4.2.2 收敛圆与收敛半径106

4.2.3 幂级数的运算和性质109

4.3 泰勒（Taylor）级数111

4.3.1 解析函数的泰勒展开式112

4.3.2 初等函数的泰勒展开式115

4.4 罗朗（Laurent）级数118

4.5 孤立奇点127

4.5.1 可去奇点127

4.5.2 极点128

4.5.3 本性奇点131

4.5.4 函数在无穷远点的性态132

小结135

习题四138

第5章 留数143

5.1 留数的概念与计算143

5.1.1 留数的概念及留数定理143

5.1.2 留数的计算145

5.1.3 在无穷远点的留数150

5.2 留数在定积分计算中的应用155

5.2.1 计算？2π 0 R（cos x，sin x）dx型积分156

5.2.2 计算？＋∞ －∞ P（X）/Q（X）dx型积分158

5.2.3 计算？＋∞ －∞ f（x）eiλx dx型积分161

5.3 对数留数与辐角原理166

5.3.1 对数留数167

5.3.2 辐角原理168

5.3.3 儒歇（Rouche）定理170

小结173

习题五175

第6章 保角映射178

6.1 保角映射的概念178

6.1.1 导数的几何意义178

6.1.2 保角映射的概念181

6.2 分式线性映射183

6.2.1 分式线性映射183

6.2.2 分式线性映射的性质185

6.2.3 3类典型的分式线性映射188

6.3 几个初等函数所构成的映射194

6.3.1 幂函数与根式函数194

6.3.2 指数函数与对数函数198

6.3.3 儒可夫斯基（Жуковский）函数202

小结206

习题六207

习题答案211