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绪论1

第一章　复数与复变函数5

1．复数及其代数运算5

1．复数的概念5

2．复数的各种表示法5

3．复数的运算8

4．共轭复数的性质13

5．几个常用的绝对值等式与不等式14

6．复数在中学数学中的应用15

7．复球面及无穷远点20

2．区域与曲线23

1．平面点集中的几个概念23

2．复平面上的曲线24

3．区域25

3．复变函数的概念27

1．复变函数的定义27

2．复变函数的极限29

3．复变函数的连续性31

习题一34

第二章　解析函数37

1．解析函数的概念37

1．导数概念37

2．解析函数的概念38

3．柯西—黎曼条件39

2．解析函数与调和函数43

3．基本初等函数47

1．指数函数47

2．对数函数47

3．幂函数与根式函数49

4．三角函数与双曲函数50

5．反三角函数与反双曲函数52

习题二55

第三章　复变函数的积分57

1．复变函数积分的概念57

1．积分定义57

2．积分的性质及计算方法59

2．柯西积分定理62

1．柯西积分定理62

2．变上限积分确定的函数63

3．柯西积分定理扩充到复连通区域65

3．柯西积分公式与高阶导数66

1．柯西积分公式66

2．解析函数的无穷可微性69

3．柯西不等式　刘维尔定理　代数基本定理72

4．莫勒拉定理73

习题三73

第四章　无穷级数75

1．复级数的基本概念75

1．复数项级数75

2．复变函数项级数77

2．幂级数82

1．幂级数的概念及阿贝尔定理82

2．幂级数和的解析性85

3．泰勒级数86

1．泰勒定理86

2．一些初等函数的泰勒展式88

4．解析函数的零点及唯一性定理90

1．解析函数的零点90

2．唯一性定理92

3．最大模原理93

5．罗朗级数95

1．罗朗定理95

2．解析函数的孤立奇点及其类型99

3．解析函数在无穷远点邻域的性质104

习题四106

第五章　留数及其应用108

1．留数的概念108

1．留数定义108

2．留数定理108

3．留数的计算规则110

4．无穷远点的留数114

2．留数在实积分求值上的应用117

1．关于型如I=∫ 2π0 R（cosθ，sinθ）dθ的积分计算117

2．型如I=∫∞-∞P(x)/Q(x)dx的积分计算119

3．型如I=∫∞-∞P(x)/Q(x)eiaxdx（α>2）的积分计算122

4．孤立奇点在实轴上的情形125

习题五127

第六章　保形映照129

1．解析映照的特性129

1．单叶解析函数的定义129

2．切线倾角的复数表示129

3．保形映照的概念130

2．分式线性映照132

1．分式线性映照概念及分解132

2．分式线性映照的性质135

3．分式线性映照的几个重要例子138

3．几个初等函数的保形映照及应用141

1．幂函数w=f(z)=zn（n是不小于2的自然数）141

2．根式函数w=？（n≥2的自然数）142

3．指数函数w=ez143

4．对数函数w=Lnz144

习题六146

附录一　多值函数的枝点与分枝148

附录二　参考书153