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吴大猷先生论统计力学（代序）1

前言3

总论1

0.1统计力学的理论意义3

0.2平衡态统计力学和非平衡态统计力学5

0.3平衡态统计力学溯源6

0.4平衡态统计力学的3种理论和流体动力学的两种描述13

上部 平衡态统计力学21

第1章 平衡态统计力学基础21

1.1系综23

1.1.1“系综理论”的出发点是放弃企图编造物质（分子）结构的过分要求24

1.1.2“系综”中的“系统”之间存在相互作用25

1.1.3“系综”和“系统”之间的区别和联系25

1.1.4引入“系综理论”的必要性26

1.1.5“系综理论”相当于流体动力学中的“Euler描述”27

1.1.6平衡态统计力学中的“系综”应被理解为“动态系综”的一个特殊情况27

1.1.7关于“系综”的若干实例28

1.1.8对“系综理论”的某些误解29

1.1.9“系综理论”既是方法论又是世界观30

1.2统计力学的基本假设31

1.2.1公设31

1.2.2统计力学系综描述的三大公设31

1.3 Poincare相空间体积不变性，Liouville方程和Liouville定理36

1.3.1 Poincare相空间体积不变性36

1.3.2 Liouville方程39

1.3.3 Liouville定理44

1.3.4等离子体Vlasov方程46

1.3.5系综平均47

1.4 Liouville方程的精确解48

1.4.1 Liouville方程的平凡解49

1.4.2关于f（pk，qk）所满足的方程50

1.4.3 Liouville方程精确解举例50

1.4.4关于Liouville方程精确解的讨论51

1.5系统之间的“隐关联”52

1.5.1“系综理论”中“系统”之间的“隐关联”53

1.5.2量子力学中的“隐关联”54

1.5.3关于“隐关联”的讨论55

习题57

第2章 统计力学的Euler描述：系综理论60

2.1微正则系综、正则系综和巨正则系综以及它们的配分函数63

2.1.1微正则系综、正则系综和巨正则系综中“系综数密度”的一般性推导65

2.1.2巨正则系综中的Bose分布和Fermi分布69

2.1.3关于微正则系综、正则系综和巨正则系综中“系综数密度”的讨论71

2.1.4关于“配分函数”的讨论72

2.2统计权重f（ε）和状态数密度Dε）76

2.2.1统计权重f（ε）77

2.2.2状态数密度D（ε）78

2.2.3关于状态数密度D（ε）的讨论83

2.3系综理论中“配分函数”和热力学量的统计表达式之间的关系86

2.3.1正则系综配分函数Z和热力学量的统计表达式之间的关系86

2.3.2巨正则系综配分函数Z和热力学量的统计表达式之间的关系89

2.3.3关于系综配分函数Z及Z和热力学量的统计表达式之间关系的讨论93

2.4一些常用的配分函数和巨配分函数97

2.4.1 Boltzmann统计中几个重要的配分函数97

2.4.2 Boltzmann统计中的热力学量101

2.4.3非相对论Bose气体和Fermi气体的巨配分函数102

2.4.4相对论Bose气体（光子气体）的巨配分函数105

2.5等温-等压系综和T-P分布110

2.5.1等温-等压系综的配分函数110

2.5.2等温-等压系综中的热力学量111

2.5.3有关T-P系综的讨论113

2.6能量均分定理116

2.6.1广义能量均分定理的证明117

2.6.2几种气体的能量均分定理119

2.6.3关于势能项的配分函数及其能量均分定理121

2.7统计力学中各种统计方法之间的逻辑关系123

2.7.1系统理论作为系综理论的特殊情况123

2.7.2微正则系综、正则系综和巨正则系综之间的关系128

2.7.3系综理论中Boltzmann统计、Bose统计和Fermi统计之间的关系132

习题133

第3章 统计系综中的配分函数及其应用148

3.1统计力学中的算符150

3.1.1热力学中的Poisson括号150

3.1.2统计力学中的算符151

3.1.3有关统计力学中的算符的讨论154

3.2正则系综的配分函数与Laplace变换155

3.2.1正则系综的配分函数Z156

3.2.2 Laplace变换的定义和性质156

3.2.3“逆Laplace变换”的应用160

3.3常用的配分函数及其应用（无“显关联”系统的Boltzmann统计165

3.3.1系统“无势平动”时的“子配分函数”166

3.3.2系统“无势转动”时的“子配分函数”167

3.3.3系统振动时的“子配分函数”172

3.3.4内部电子运动的“子配分函数”175

3.3.5顺磁性物质的“子配分函数”175

3.3.6应用：顺磁性物质的磁性178

3.3.7应用：负绝对温度状态179

3.3.8“多原子分子”气体的热容量185

3.3.9 Einstein固体热容量理论191

3.4常用的配分函数及其应用（无“显关联”系统的Bose统计和Fermi统计）193

3.4.1 Bose统计和Fermi统计的巨配分函数193

3.4.2应用：光子气体198

3.4.3 Debye固体热容量理论204

3.4.4应用：液氦和Landau的超流理论209

3.4.5Bose气体213

3.4.6Fermi气体217

3.4.7应用：高温致密物体222

3.5常用的配分函数及其应用（有“显关联”系统的Boltzmann统计225

3.5.1有“显关联”系统的Boltzmann统计的精确解：两粒子系统225

3.5.2非理想气体的正则配分函数以及“位形积分”的引入228

3.5.3有“显关联”系统的Boltzmann统计的近似解：非理想气体状态方程的推导231

3.5.4有“显关联”系统的Boltzmann统计的精确解：非理想气体的集团展开法235

3.5.5有“显关联”系统的反问题：由热力学状态方程求“位形积分”244

习题246

第4章 相变理论和临界现象268

4.1“相变”问题统计力学271

4.1.1“相变”和“临界现象”271

4.1.2平衡态统计力学的3个步骤273

4.1.3统计力学能否描述“相变”？274

4.2李政道和杨振宁的凝聚理论275

4.2.1李政道关于“Mayer猜想”的评论275

4.2.2李政道和杨振宁的相变理论276

4.3 Ising模型282

4.3.1 Ising模型的物理学史282

4.3.2 Ising模型的配分函数285

4.4二维Ising模型的精确解300

4.4.1二维Ising模型问题301

4.4.2二维Ising模型问题的矩阵形式302

4.4.3 Λ'1，Λ2，Λ3矩阵的Pauli自旋矩阵表示303

4.4.4自旋表象中的Λ矩阵309

4.4.5矩阵Γ2m＋1对角化的表象313

4.4.6转动矩阵ω的自旋表象及其本征值314

4.4.7Λ＋和Λ－的本征值&（318

4.4.8Λ的本征值及其最大本征值323

4.4.9二维Ising模型的热力学性质325

4.5标度律与普适性330

4.5.1“临界指数”的引入和“平均场理论”的误差330

4.5.2平均场理论只是在4维以上空间才总是正确335

4.5.3临界指数和标度关系337

4.5.4标度假定339

4.5.5自相似变换342

4.5.6普适类和Kadanoff假定345

4.6重整化群346

4.6.1由Kadanoff“块自旋”变换至“关联函数”的标度形式349

4.6.2重整化群的定义350

4.6.3“重整化群”变换中的“不动点”354

4.6.4在“不动点”附近将“重整化群”线性化以计算“临界指数”355

4.6.5讨论356

习题357

下部 非平衡态统计力学365

第5章 非平衡态统计力学的动理学理论365

5.1 BBGKY方程序列367

5.1.1系综的“约化”数密度367

5.1.2用“约化”数密度表示的BBGKY方程序列370

5.1.3讨论371

5.2 Boltzmann方程372

5.2.1由BBGKY方程链推导Boltzmann方程372

5.2.2 Boltzmann方程的原始推导374

5.2.3用全面的系综理论重新推导Boltzmann方程：“Boltzmann-Gibbs方程”381

5.2.4 Boltzmann-Gibbs方程的精确解385

5.3 Boltzmann的H定理和热力学第二定律389

5.3.1 Boltzmann的H定理389

5.3.2 Loschmidt和Zermelo对“H定理”的批评391

5.4求解传统Boltzmann方程的Chapman-Enskog法396

5.5 Boltzmann方程的Bhatnagar-Gross-Krook（BGK）近似和气体输运系数的计算以及格子Boltzmann方程399

5.5.1 Bhatnagar-Gross-Krook（BGK）近似下的Boltzmann方程的简单推导399

5.5.2 Bhatnagar-Gross-Krook（BGK）近似的原始出发点399

5.5.3 Boltzmann-BGK方程的精确解400

5.5.4气体输运系数的计算401

5.5.5格子Boltzmann方程403

5.6流体动力学的基本方程405

5.6.1二体碰撞的碰撞守恒量406

5.6.2由Boltzmann方程推导流体动力学基本方程组407

5.6.3流体动力学基本方程组的原始推导410

5.6.4流体动力学的本构方程414

5.6.5讨论415

5.7流体动力学基本方程组在物理学其他学科中的应用416

5.7.1非平衡态热力学417

5.7.2经典电动力学419

5.7.3磁流体力学（MHD）或电磁流体力学（EMHD）420

5.7.4量子力学425

习题427

第6章 非平衡态统计力学的随机理论：Brown运动431

6.1 Fokker-Planck方程433

6.1.1 Fokker-Planck方程的导出433

6.1.2 Fokker-Planck方程对于Brown运动问题的应用441

6.2 Perrin的两个实验441

6.2.1第一个实验441

6.2.2第二个实验442

6.3 Ornstein-Uhlenbeck过程的Fokker-Planck方程的精确解442

6.3.1 Ornstein-Uhlenbeck过程442

6.3.2 Ornstein-Uhlenbeck过程的Fokker-Planck方程与量子力学Schr？dinger方程444

6.4 Langevin方程及其精确解447

6.4.1Langevin方程447

6.4.2 Langevin方程的解447

6.4.3 Langevin方程与Fokker-Planck方程之间的关系448

6.5随机力学449

6.5.1 Nelson-de la Pena-Auerhach方程449

6.5.2 Bohm的“量子势诠释”和Madelung-高林武彦“流体动力学表象”453

6.5.3 Nelson的随机力学455

6.5.4随机力学的物理方面456

6.5.5随机力学的其他方面458

6.6涨落-耗散定理459

6.6.1 Brown运动所对应的条件几率P2（v0|v）459

6.6.2 Brown运动所对应的几率分布W1（v）460

6.6.3涨落-耗散定理461

习题462

附录A平衡态Maxwell-Boltzmann统计465

A.1平衡态统计力学最初使用的公设465

A.1.1一些相关的概念465

A.1.2五大公设466

A.2平衡态Maxwell-Boltzmann统计的基本方案469

A.2.1 Boltzmann分布、Bose分布和Fermi分布的“状态数”471

A.2.2由Maxwell“最可几理论，，推导“Boltzmann分布”、“Bose分布”和“Fermi分布”472

A.3 Maxwell速度分布律478

A.3.1 Maxwell速度分布律479

A.3.2 Maxwell分布律的其他几种形式480

A.4 Boltzmann密度分布律483

A.4.1 Boltzmann的密度按高度的分布律483

A.4.2 Maxwell-Boltzmann分布律484

附录B平衡态Boltzmann统计中的一些常用积分485

参考文献491

人名索引501

表2.1微正则系综、正则系综和巨正则系综的配分函数75

表2.2 Maxwell分布、Bose分布和Fermi分布的统计权重和巨配分函数75

表2.3常用的3⊕⊕3维相空间中的“态密度”D（ε）（通常统计方案）81

表2.4常用的3N⊕3N维相空间中的“态密度”D（ε）83

表2.5常用的3⊕⊕3维相空间中的“统计密度”D（ε）（用统计权重f（ε）的统计方案）85

表2.6系综理论中“配分函数”和“巨配分函数”与热力学量的统计表达式92

表2.7 Boltzmann分布的配分函数和热力学量的统计表达式94

表2.8 Boltzmann统计中几个重要的配分函数100

表2.9 Bose统计和Fermi统计中几个重要的配分函数105

表2.10正则系综和T-P系综对照表112

表2.11最可几理论、平均值理论和系综理论的比较128

表3.1无“显关联”系统的Boltzmann统计中的常用配分函数177

表3.2统计力学中的几种特征温度221

表3.3非理想气体的配分函数和巨配分函数的对数238

表3.4几种非理想气体的“位形积分”245

表4.1“一级相变”和“二级相变”的区别273

表4.2“铁磁体”、“点阵气体”和“二元合金”中有关物理量的代换关系296

表4.3几类常见的“序参量”以及相关的“相变”特征331

表4.4几种常用气体的“临界指数”334

表4.5 Bragg-Williams近似下的“临界指数”的理论值和实验值之间的比较337

表4.6临界指数的部分实验结果337

表4.7临界指数的理论值338

表4.8“重整化群”理论和数值模拟两种计算结果的对比356

表5.1通常气体中与“等离子体”中的几个特征尺度421

表A.1 Boltzmann分布、Bose分布和Fermi分布的“热力学几率”471

表A.2 Boltzmann分布、Bose分布和Fermi分布472

表A.3 Maxwell分布律中的分布密度481

表B.1一些具体的Laplace变换486

表B.2平衡态Boltzmann统计中的常用积分488

表B.3平衡态Boltzmann统计中一些有用的积分489

表B.4平衡态Bose统计和Fermi统计中的有用积分490