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第1章 函数、极限与连续1

1.1函数1

1.1.1集合、区间与邻域1

1.1.2函数概念3

1.1.3初等函数14

1.1.4建立函数关系举例14

习题1.116

1.2数列的极限19

1.2.1数列极限的定义19

1.2.2收敛数列的性质22

1.2.3数列极限的存在准则23

1.2.4数列极限的四则运算法则24

习题1.225

1.3函数的极限30

1.3.1函数极限的定义30

1.3.2函数极限的性质33

习题1.335

1.4无穷小与无穷大36

1.4.1无穷小36

1.4.2无穷大37

习题1.438

1.5极限运算法则38

1.5.1极限的四则运算法则38

1.5.2复合函数的极限41

习题1.541

1.6两个重要极限42

1.6.1函数极限的存在准则（夹逼准则）42

1.6.2两个重要极限42

习题1.647

1.7无穷小的比较47

习题1.749

1.8函数的连续性50

1.8.1连续函数的概念50

1.8.2间断点及其分类51

1.8.3连续函数的性质和运算53

1.8.4闭区间上连续函数的性质54

习题1.856

本章小结57

总习题158

第2章 导数与微分61

2.1导数概念61

2.1.1问题的引入61

2.1.2导数的定义62

2.1.3导数的几何意义65

2.1.4求导举例65

习题2.168

2.2求导法则68

2.2.1导数的四则运算法则69

2.2.2反函数的导数70

2.2.3复合函数的导数71

2.2.4初等函数的导数72

习题2.273

2.3高阶导数74

2.3.1高阶导数的定义及表示74

2.3.2高阶导数的计算75

2.3.3高阶导数的求导法则76

习题2.377

2.4隐函数及参数函数的导数77

2.4.1隐函数的导数77

2.4.2对数求导法79

2.4.3参数式函数的导数80

2.4.4相关变化率82

习题2.482

2.5函数的微分及其应用83

2.5.1微分的概念83

2.5.2微分的几何意义85

2.5.3微分公式与微分运算法则85

2.5.4微分在近似计算中的应用87

2.5.5微分在误差估计中的应用88

习题2.589

2.6微分中值定理90

2.6.1费马（Fermat）定理90

2.6.2罗尔（Rolle）定理91

2.6.3拉格朗日（Lagrange）中值定理92

2.6.4柯西（Cauchy）中值定理95

2.6.5泰勒（Taylor）公式96

习题2.699

2.7洛必达法则99

2.7.1洛必达法则100

2.7.2其他类型的未定式102

习题2.7103

2.8导数的应用104

2.8.1函数单调性判定法104

2.8.2曲线的凹凸性及其判别法105

2.8.3函数的极值及其求法107

2.8.4函数的最值及其求法110

2.8.5曲线的渐近线及其图形的描绘112

2.8.6函数图形的描绘113

习题2.8115

2.9曲率115

2.9.1弧微分116

2.9.2曲率及其计算公式117

2.9.3曲率圆与曲率半径119

习题2.9120

本章小结120

总习题2122

第3章 不定积分124

3.1不定积分的概念和运算法则124

3.1.1问题的引入124

3.1.2原函数124

3.1.3不定积分125

3.1.4不定积分的运算法则126

3.1.5不定积分的基本公式127

习题3.1128

3.2换元积分法129

3.2.1第一换元积分法（“凑”微分法）129

3.2.2第二换元积分法（变量代换法）134

习题3.2138

3.3分部积分法138

习题3.3141

3.4有理函数的积分141

3.4.1有理函数141

3.4.2有理函数的积分142

习题3.4146

3.5积分表的使用146

3.5.1直接查表146

3.5.2间接查表146

本章小结147

总习题3147

第4章 定积分149

4.1定积分的概念149

4.1.1引入定积分概念的实例149

4.1.2定积分定义150

4.1.3可积函数类151

习题4.1152

4.2定积分的性质和基本定理152

4.2.1定积分的基本性质152

4.2.2微积分学基本定理154

4.2.3变上限的定积分154

4.2.4牛顿-莱布尼茨公式156

习题4.2158

4.3定积分的计算方法159

4.3.1定积分换元法159

4.3.2定积分分部积分法162

习题4.3164

4.4广义积分165

4.4.1无穷区间的广义积分165

4.4.2无界函数的广义积分166

习题4.4169

4.5定积分的应用169

4.5.1微元法169

4.5.2平面图形的面积171

4.5.3立体的体积174

4.5.4平面曲线的弧长177

4.5.5定积分在实际中的应用178

习题4.5181

本章小结184

总习题4184

第5章 常微分方程188

5.1常微分方程的基本概念188

5.1.1问题的引入——马尔萨斯（Malthus）人口模型188

5.1.2一些基本概念189

习题5.1190

5.2可分离变量的微分方程191

5.2.1可分离变量的微分方程191

5.2.2齐次方程192

习题5.2193

5.3一阶线性微分方程194

5.3.1一阶线性微分方程194

5.3.2伯努利（Bernoulli）方程196

习题5.3197

5.4可降阶的微分方程198

5.4.1y（n） = f（x）型的微分方程198

5.4.2y"=f（x，y’）型的微分方程（不显含y的二阶微分方程）198

5.4.3y"=f（y，y’）型的微分方程（不显含x的二阶微分方程）200

习题5.4201

5.5二阶线性微分方程解的结构201

习题5.5203

5.6二阶常系数线性微分方程的解法203

5.6.1二阶常系数线性齐次微分方程的解法203

5.6.2二阶常系数线性非齐次微分方程的解法206

习题5.6212

本章小结212

总习题5213

部分习题参考答案216

参考文献231

附录A MATLAB实验（上）232

A1MATLAB简介232

A1.1 MATLAB文件菜单简介233

A1.2 MATLAB中的常用运算符和函数233

A1.3 M文件与M函数235

A2曲线绘图的MATLAB命令236

A3求极限的MATLAB命令239

A4求一元函数导数的MATLAB命令240

A4.1 MATLAB中主要用diff命令求函数的导数240

A4.2 MATLAB中主要用roots， fzero， fminbnd命令解决导数的应用240

A5求积分的MATLAB命令243

A6微分方程求解的MATLAB命令244

附录B不定积分表245

附录C希腊字母表253