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第九章 连续映射（一般理论）1

1 度量空间1

1．定义和例子1

2．度量空间中的开集和闭集4

3．度量空间的子空间6

4．度量空间的直积7

练习8

2 拓扑空间9

1．基本定义9

2．拓扑空间的子空间12

3．拓扑空间的直积12

练习13

3 紧集14

1．紧集的定义和一般性质14

2．度量紧集15

练习17

4 连通的拓扑空间17

练习18

5 完备的度量空间19

1．基本定义和例子19

2．度量空间的完备化22

练习25

6 拓扑空间的连续映射26

1．映射的极限26

2．连续映射28

练习30

7 压缩映像原理31

练习36

第十章 线性赋范空间中的微分学38

1 线性赋范空间38

1．分析中一些线性空间的例子38

2．线性空间中的范数39

3．向量空间中的数量积41

练习44

2 线性和多重线性算子45

1．定义和例子45

2．算子的范数48

3．连续算子空间52

练习56

3 映射的微分57

1．在一点可微的映射57

2．微分法的一般法则58

3．一些例子59

4．映射的偏导数65

练习66

4 有限增量定理和它的应用的一些例子69

1．有限增量定理69

2．有限增量定理应用的一些例子71

练习74

5 高阶导映射75

1．n阶微分的定义75

2．沿向量的导数和n阶微分的计算76

3．高阶微分的对称性78

4．若干评注79

练习81

6 泰勒公式和极值的研究81

1．映射的泰勒公式81

2．内部极值的研究82

3．一些例子84

练习88

7 一般的隐函数定理90

练习98

第十一章 重积分100

1 n维区间上的黎曼积分100

1．积分定义100

2．函数黎曼可积的勒贝格准则102

3．达布准则106

练习108

2 集合上的积分109

1．容许集109

2．集合上的积分110

3．容许集的测度（体积）111

练习112

3 积分的一般性质113

1．作为线性泛函的积分113

2．积分的可加性113

3．积分的估计114

练习116

4 化重积分为累次积分117

1．富比尼定理117

2．一些推论119

练习123

5 重积分中的变量替换125

1．问题的提出和变量替换公式的预期结论125

2．可测集和光滑映射126

3．一维情形128

4．Rn中最简微分同胚的情形130

5．映射的复合和变量替换公式131

6．积分的可加性和积分变量替换公式证明的完成131

7．重积分变量替换公式的一些推论和推广132

练习135

6 反常重积分138

1．基本定义138

2．反常积分收敛性的控制判别法140

3．反常积分中的变量替换143

练习145

第十二章 Rn中的曲面及微分形式148

1 Rn中的曲面148

练习155

2 曲面的定向156

练习161

3 曲面的边界及其定向162

1．带边曲面162

2．曲面定向与边界定向的和谐性164

练习167

4 欧氏空间内曲面的面积168

练习172

5 微分形式初步175

1．微分形式，定义及例子175

2．微分形式的坐标记法179

3．外微分形式181

4．在映射下，向量的转移与形式的转移184

5．曲面上的形式187

练习188

第十三章 曲线积分与曲面积分191

1 微分形式的积分191

1．原始问题，启发性想法，例子191

2．形式沿定向曲面积分的定义197

练习200

2 体积形式，第一型积分与第二型积分204

1．物质曲面的质量204

2．作为形式的积分的曲面面积205

3．体积形式206

4．在笛卡儿坐标下体积形式的表示207

5．第一型与第二型积分208

练习210

3 分析的基本积分公式213

1．格林公式213

2．高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式217

3．R3中的斯托克斯公式220

4．一般的斯托克斯公式221

练习224

第十四章 向量分析与场论初步229

1 向量分析的微分运算229

1．数量场与向量场229

2．R3中的向量场与形式229

3．微分算子grad,rot,div及？232

4．向量分析的一些微分公式235

5．曲线坐标下的向量运算237

练习245

2 场论的积分公式246

1．用向量表示的经典积分公式246

2．div,rot,grad的物理解释248

3．一些进一步的积分公式252

练习254

3 势场256

1．向量场的势256

2．势场的必要条件257

3．向量场具有势的判别准则258

4．区域的拓扑结构与势260

5．向量势、恰当形式与闭形式262

练习265

4 应用例子268

1．热传导方程268

2．连续性方程270

3．连续介质动力学基本方程271

4．波动方程272

练习273

第十五章 流形上微分形式的积分276

1 线性代数准备知识276

1．形式代数276

2．斜对称形式代数277

3．线性空间中的线性映射及共轭空间中的共轭映射280

练习281

2 流形283

1．流形的定义283

2．光滑流形与光滑映射287

3．流形及其边界的定向289

4．单位分解及流形以Rn中曲面的形式的实现292

练习295

3 微分形式及其在流形上的积分296

1．流形在其一点的切空间296

2．流形上的微分形式299

3．外微分301

4．形式在流形上的积分302

5．斯托克斯公式303

练习305

4 流形上的闭形式与恰当形式310

1．庞加莱定理310

2．同调与上同调313

练习317

第十六章 一致收敛性，函数项级数与函数族的基本分析运算319

1 逐点收敛与一致收敛319

1．逐点收敛319

2．基本问题的提出320

3．依赖于参数的函数族的收敛性和一致收敛性322

4．一致收敛的柯西准则325

练习326

2 函数项级数的一致收敛性327

1．级数一致收敛性的基本定义和判别准则327

2．级数一致收敛的魏尔斯特拉斯检验法329

3．阿贝尔－狄利克雷检验法330

练习334

3 极限函数的函数性质334

1．问题的具体化334

2．两个极限过程可交换的条件335

3．连续性与极限过渡336

4．积分法与极限过渡339

5．微分法与极限过渡341

练习345

4 连续函数空间的紧子集和稠密子集348

1．阿尔采拉－阿斯柯利定理348

2．度量空间C（K,Y）350

3．斯通定理351

练习353

第十七章 含参变量的积分356

1 含参变量的常义积分356

1．含参变量积分的概念356

2．含参变量积分的连续性357

3．含参变量积分的微分法358

4．含参变量积分的积分法361

练习361

2 含参变量的反常积分363

1．反常积分关于参数的一致收敛性363

2．反常积分号下取极限和含参变量的反常积分的连续性369

3．含参变量的反常积分的微分法371

4．含参变量的反常积分的积分法373

练习377

3 欧拉积分380

1．β函数380

2．Г函数381

3．β函数和Г函数的联系385

4．一些例子385

练习387

4 函数的卷积和广义函数的初步知识391

1．物理问题中的卷积（启发性想法）391

2．卷积的一些一般性质393

3．δ－型函数族和魏尔斯特拉斯逼近定理396

4．分布的初步概念401

练习410

5 含参变量的重积分414

1．含参变量的常义重积分415

2．含参变量的反常重积分415

3．具变奇异性的反常积分416

4．高维情形的卷积，基本解和广义函数420

练习429

第十八章 傅里叶级数与傅里叶变换434

1 一些主要的与傅里叶级数有关的一般概念434

1．正交函数系434

2．傅里叶系数和傅里叶级数440

3．分析中正交函数系的一个重要来源449

练习452

2 傅里叶三角级数457

1．经典傅里叶级数收敛性的基本形式457

2．傅里叶三角级数逐点收敛性的研究461

3．函数的光滑性和傅里叶系数的下降速度469

4．三角函数系的完全性473

练习479

3 傅里叶变换486

1．函数的傅里叶积分表示486

2．函数的微分性质和渐近性质与其傅里叶变换的联系497

3．傅里叶变换的最重要的演算性质500

4．应用举例504

练习509

第十九章 渐近展开515

1 渐近公式和渐近级数517

1．基本定义517

2．渐近级数的一般知识521

3．渐近幂级数525

练习527

2 渐近积分（拉普拉斯方法）530

1．拉普拉斯方法的基本思想530

2．拉普拉斯积分的局部化原理533

3．典型积分及其渐近式534

4．拉普拉斯积分的渐近主项537

5．拉普拉斯积分的540

渐近展开540

练习550

口试提纲556

考试大纲561

参考文献564

基本符号索引569

索引573

补序582

中文版修订者的话584