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第7章 多元函数微分法及其应用1

7.1 多元函数的基本概念1

7.1.1 平面点集1

7.1.2 多元函数概念4

7.1.3 多元函数的极限6

7.1.4 多元函数的连续性9

7.2 偏导数13

7.2.1 偏导数的概念13

7.2.2 偏导数的几何意义16

7.2.3 高阶偏导数18

7.3 全微分21

7.3.1 全微分的概念21

7.3.2 全微分在近似计算中的应用26

7.4 多元复合函数的求导法则30

7.4.1 多元复合函数的微分法30

7.4.2 全微分形式不变性36

7.5 隐函数的求导公式38

7.5.1 一个方程的情形38

7.5.2 方程组的情形41

7.6 多元函数微分学的几何应用46

7.6.1 空间曲线的切线与法平面46

7.6.2 曲面的切平面与法线51

7.7 方向导数与梯度55

7.7.1 方向导数55

7.7.2 梯度58

7.8 多元函数的极值及其应用62

7.8.1 多元函数的极值与最值62

7.8.2 条件极值·拉格朗日乘数法67

7.9 最小二乘法72

总习题777

实验7 多元函数的极限及偏导数的计算80

第8章 重积分82

8.1 二重积分82

8.1.1 二重积分的概念82

8.1.2 二重积分的性质85

8.1.3 平面区域的表示87

8.2 二重积分的计算90

8.2.1 利用直角坐标计算二重积分90

8.2.2 利用极坐标计算二重积分95

8.2.3 一般变换计算二重积分100

8.3 三重积分106

8.3.1 三重积分的概念106

8.3.2 三重积分的计算107

8.4 重积分的应用116

8.4.1 曲面的面积116

8.4.2 质心119

8.4.3 转动惯量121

8.4.4 引力123

总习题8126

实验8 重积分128

第9章 曲线积分与曲面积分130

9.1 对弧长的曲线积分130

9.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质130

9.1.2 对弧长的曲线积分的计算132

9.2 对坐标的曲线积分137

9.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质137

9.2.2 对坐标的曲线积分的计算140

9.2.3 两类曲线积分之间的联系145

9.3 格林公式及其应用149

9.3.1 格林公式149

9.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件153

9.3.3 二元函数的全微分求积156

9.4 对面积的曲面积分160

9.4.1 对面积的曲面积分的概念与性质160

9.4.2 对面积的曲面积分的计算162

9.5 对坐标的曲面积分166

9.5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质166

9.5.2 对坐标的曲面积分的计算171

9.5.3 两类曲面积分之间的联系173

9.6 高斯公式 通量与散度176

9.6.1 高斯公式176

9.6.2 曲面积分与积分曲面无关的条件179

9.6.3 通量与散度180

9.7 斯托克斯公式 环流量与旋度184

9.7.1 斯托克斯公式184

9.7.2 空间曲线积分与路径无关的条件189

9.7.3 环流量与旋度189

总习题9192

实验9 曲线积分与曲面积分195

第10章 无穷级数198

10.1 常数项级数的概念与性质199

10.1.1 常数项级数199

10.1.2 收敛级数的基本性质202

10.1.3 柯西审敛原理205

10.2 正项级数207

10.2.1 比较审敛法208

10.2.2 比值审敛法和根值审敛法212

10.2.3 柯西积分审敛法215

10.3 任意项级数217

10.3.1 交错级数217

10.3.2 绝对收敛与条件收敛219

10.4 幂级数224

10.4.1 函数项级数的概念225

10.4.2 幂级数及其收敛性225

10.4.3 幂级数的运算231

10.5 函数展开成幂级数234

10.5.1 泰勒级数235

10.5.2 函数展开成幂级数的方法237

10.5.3 函数的幂级数展开式的应用244

10.6 傅里叶级数246

10.6.1 三角函数系及其正交性246

10.6.2 函数展开成傅里叶级数248

10.6.3 傅里叶级数的收敛性249

10.6.4 正弦级数和余弦级数254

10.7 一般周期函数的傅里叶级数259

10.7.1 周期为2l的周期函数的傅里叶级数259

10.7.2 傅里叶级数的复数形式263

总习题10265

实验10 无穷级数269

第11章 微分方程276

11.1 微分方程的基本概念276

11.2 可分离变量的微分方程与齐次方程281

11.2.1 可分离变量的微分方程282

11.2.2 齐次方程287

11.3 一阶线性微分方程291

11.3.1 一阶线性方程的解法291

11.3.2 伯努利方程296

11.4 全微分方程299

11.5 可降阶的高阶微分方程303

11.5.1 y（n）＝f（x）型的微分方程304

11.5.2 y″＝f（x，y′）型的微分方程305

11.5.3 y″＝f（y，y′）型的微分方程307

11.6 二阶线性微分方程310

11.7 二阶常系数齐次线性微分方程314

11.8 二阶常系数非齐次线性微分方程320

11.8.1 f（x）＝Pm（x）e rx型320

11.8.2 f（x）＝e ax［Pl（x）cosβx＋Pn（x）sinβx］型323

11.8.3 欧拉方程326

11.9 微分方程的幂级数解法329

总习题11332

实验11 常微分方程的求解334

参考答案340