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第1章 函数1

1.1 预备知识1

1.1.1 集合1

1.1.2 空间1

1.1.3 邻域2

1.1.4 极坐标3

1.2 函数6

1.2.1 函数的概念7

1.2.2 具有某种特性的函数9

1.2.3 反函数11

1.2.4 复合函数·初等函数11

1.2.5 函数表示12

1.2.6 经济学中常用的函数13

习题118

第2章 极限与连续20

2.1 数列的一般概念20

2.1.1 数列的定义20

2.1.2 有界数列21

2.1.3 单调数列21

2.2 数列极限21

2.2.1 问题的提出21

2.2.2 数列极限的直观描述22

2.2.3 数列极限的几何意义24

2.2.4 数列极限的性质24

2.3 函数极限24

2.3.1 函数极限的概念25

2.3.2 函数极限的性质27

2.3.3 函数极限的运算法则27

2.3.4 复合函数的极限运算法则28

2.4 无穷小与无穷大28

2.4.1 无穷小的概念28

2.4.2 收敛变量与其极限的关系29

2.4.3 无穷大的概念29

2.4.4 无穷小与无穷大的关系30

2.4.5 无穷小的性质30

2.4.6 无穷小阶的比较31

2.5 极限的计算31

2.5.1 有理函数的极限32

2.5.2 重要极限之一34

2.5.3 重要极限之二36

2.5.4 等价无穷小的代换37

2.6 单侧极限40

2.7 函数的连续性41

2.7.1 函数连续的概念41

2.7.2 函数间断点的分类42

2.7.3 初等函数的连续性44

2.7.4 闭区间上连续函数的性质45

2.8 极限存在准则47

2.8.1 准则Ⅰ——两边夹定理47

2.8.2 准则Ⅱ——单调有界定理49

2.9 计算极限与判断连续方法的拓展51

2.10 极限应用56

2.10.1 连续复利问题56

2.10.2 Fibonacci数列与黄金分割问题57

2.10.3 雪花曲线问题58

习题259

第3章 导数与微分65

3.1 导数的概念65

3.1.1 问题的提出65

3.1.2 导数的定义67

3.1.3 导数的几何意义69

3.2 微分的概念71

3.2.1 问题的提出71

3.2.2 微分的定义72

3.2.3 微分的几何意义73

3.3 导数的计算73

3.3.1 四则运算法则74

3.3.2 反函数的求导法则75

3.3.3 复合函数的求导法则77

3.4 微分的计算80

3.4.1 基本初等函数的微分公式80

3.4.2 微分的运算法则81

3.4.3 微分形式的不变性82

3.5 再论导数与微分83

3.5.1 导数定义的等价形式83

3.5.2 单侧导数86

3.5.3 微分的实质88

3.6 一元微分学中的主要关系89

3.6.1 可导与连续的关系89

3.6.2 可导与可微的关系91

3.6.3 可导与连续可导的关系91

3.7 微分法拓展94

3.7.1 高阶导数求导公式及其运算法则94

3.7.2 隐函数求导法则97

3.7.3 由参数方程所确定的函数的导数98

3.7.4 对数求导法100

3.7.5 抽象函数求导101

3.8 导数的应用103

3.8.1 导数在经济学中的应用103

3.8.2 导数在工程中的应用105

3.9 微分的应用107

3.9.1 微分在近似计算中的应用107

3.9.2 微分在误差计算中的应用108

习题3109

第4章 中值定理与导数的应用114

4.1 中值定理114

4.1.1 费马（Fermat）定理114

4.1.2 罗尔（Rolle）定理115

4.1.3 拉格朗日（Lagrange）中值定理117

4.2 洛必达法则118

4.2.1 洛必达法则Ⅰ（0/0型不定式）119

4.2.2 洛必达法则Ⅱ（∞／∞型不定式）120

4.2.3 其他不定式（0·∞，∞—∞，1∞，00，∞0）122

4.3 函数的性态解析125

4.3.1 函数的单调性125

4.3.2 函数的凹凸性128

4.3.3 函数的极值131

4.3.4 函数的最值134

4.3.5 曲线的渐近线136

4.4 再论中值定理137

4.4.1 罗尔定理探究137

4.4.2 拉格朗日中值定理探究140

4.4.3 柯西（Cauchy）定理141

4.5 基于中值定理的证明方法拓展143

4.6 高等不等式的证明149

4.6.1 利用微分中值定理证明不等式149

4.6.2 利用单调性证明不等式149

4.6.3 利用凹凸性证明不等式150

4.6.4 利用极值和最值证明不等式151

4.7 经济函数的优化问题152

4.7.1 平均成本最小化问题152

4.7.2 存货成本最小化问题153

4.7.3 利润最大化问题155

4.7.4 需求弹性分析与总收益变化的问题157

4.8 精密测量问题158

4.9 函数图形的绘制问题159

4.9.1 函数作图的步骤159

4.9.2 函数绘图赏析160

习题4162

第5章 空间解析几何168

5.1 空间坐标系168

5.1.1 直角坐标系168

5.1.2 柱坐标系170

5.1.3 球坐标系171

5.1.4 空间两点之间的距离172

5.2 向量代数173

5.2.1 向量的概念173

5.2.2 向量的坐标174

5.2.3 向量的坐标运算175

5.2.4 向量的数量积178

5.2.5 向量的向量积179

5.2.6 向量的混合积182

5.3 空间平面184

5.3.1 平面方程的类型184

5.3.2 两平面的位置关系188

5.4 空间直线189

5.4.1 直线方程的类型189

5.4.2 两直线的位置关系192

5.4.3 直线与平面的位置关系192

5.5 空间的距离194

5.5.1 点面距离194

5.5.2 点线距离195

5.5.3 面面距离196

5.5.4 线线距离196

5.6 曲面及其方程197

5.6.1 一般曲面197

5.6.2 旋转曲面197

5.6.3 柱面200

5.6.4 二次曲面201

5.7 空间曲线209

5.7.1 空间曲线的一般方程209

5.7.2 空间曲线的参数方程210

5.8 线面方程求法拓展212

5.8.1 平面束212

5.8.2 空间曲线在坐标面上的投影214

5.8.3 由曲线旋转而成的曲面方程216

5.9 曲面及其组合图形在坐标面上的投影217

5.10 图形欣赏220

习题5231

第6章 多元函数微分法及其应用236

6.1 二元函数236

6.1.1 预备知识236

6.1.2 二元函数的概念237

6.1.3 二元函数的极限239

6.1.4 二元函数的连续242

6.2 偏导数243

6.2.1 函数的增量243

6.2.2 偏导数的概念244

6.2.3 偏导数的几何意义245

6.2.4 一阶偏导数的计算246

6.2.5 高阶偏导数248

6.3 空间曲线的切线与法平面249

6.4 曲面的切平面与法线253

6.5 方向导数255

6.6 梯度257

6.7 全微分259

6.7.1 全微分的定义260

6.7.2 全微分的计算261

6.8 多元微分学中的关系262

6.8.1 极限与连续262

6.8.2 可导与连续263

6.8.3 可微与可导264

6.8.4 偏导数连续与可微265

6.9 多元复合函数的求导法则267

6.9.1 多元复合函数的关系267

6.9.2 多元复合函数的求导法则268

6.9.3 全微分形式的不变性273

6.10 隐函数的求导法274

6.10.1 由方程F（x,y）=0所确定的隐函数的导数274

6.10.2 由方程F（x,y,z）=0所确定的隐函数的导数275

6.10.3 由方程组所确定的隐函数的导数277

6.11 二元函数的极值279

6.11.1 二元函数的无条件极值279

6.11.2 二元函数的条件极值284

6.12 多元函数微积分在经济学中的应用287

6.12.1 利用偏导数对经济增量进行解释287

6.12.2 利用偏导数对两种商品之间的性质进行解释288

6.12.3 利用全微分在经济分析中进行近似计算289

6.12.4 利用极值求经济变量的最大值和最小值289

习题6290

附录A 常用的初等数学公式296

附录B 习题答案（上）299

参考文献320