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无限集1

集合的表示方法1

目录1

第一章 集合、常用逻辑用语1

1．集合1

集合1

元素1

有限集1

常用数集的符号2

空集2

集合元素的性质2

属于2

不属于2

子集3

并集4

用文氏图表示交集4

真子集4

集合相等4

交集4

文氏图4

用文氏图表示并集5

补集的文氏图6

补集6

全集6

集的运算规律7

复合命题真值表12

复合命题12

2．常用逻辑用语12

命题12

简单命题12

命题的四种形式及相互关系13

用反证法证明命题的一般步骤14

反证法14

等价命题14

第二章 函数概念、幂函数、指数函数、对数函数19

充分条件必要条件充分必要条件19

一一映射24

到上和到内的映射24

1．映射与函数24

映射24

像和原像24

逆映射25

函数的解析式与定义域26

函数26

函数的最值27

值域和常见函数的值域27

相同函数28

函数的三要素28

区间32

用描点法作函数图像32

分段函数32

函数的图像32

函数的常用表示法33

区间在数轴上的表示33

区间端点33

复合函数的定义域34

复合函数34

反函数36

分段函数的反函数求法37

反函数的求法37

互为反函数的函数图像间的关系37

反函数的两个简单命题38

讨论函数的单调性42

单调函数的特征42

增函数42

减函数42

单调性42

奇偶性47

非奇非偶函数47

奇函数47

偶函数47

关于奇（偶）函数的几个简单命题48

周期函数与周期53

抛物线y=ax2的对称轴和顶点54

函数y=ax2的图像54

最小正周期54

非同期函数54

有界函数与无界函数54

二次函数54

函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像55

函数y=a(x-x0)2的图像55

函数y=ax2+y0的图像55

二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系56

函数y=ax2+bx+c的性质56

幂函数的图像与性质64

幂函数64

2．幂函数64

无理数指数69

分数指数69

3．指数函数69

零指数69

负整数指数69

指数函数的图像和性质70

指数函数70

实数指数幂的运算性质70

对数恒等式和换底公式75

积、商、幂、方根的对数75

4．对数函数75

对数75

对数的性质75

对数函数的图像与性质76

对数函数76

常用对数76

自然对数76

常用对数首数的求法76

通项公式84

数列与函数的关系84

第三章 数列84

1．数列与等差数列84

数列84

有穷数列84

无穷数列84

求数列的前n项和的两种方法87

数列的通项an与Sn之间的关系89

等差数列前n项和92

等差中项92

等差数列92

等差数列的通项公式92

等比数列99

2．等比数列99

等比数列前n项和100

等比中项100

等比数列的通项公式100

角度制与弧度制的换算110

α为已知角的弧度数110

第四章 三角函数110

1．三角函数110

角、正角和负角110

角度制110

弧度制110

角所在的象限111

终边相同的角111

弧长公式111

扇形面积公式111

常见的对称角114

常见的轴上角114

象限角114

三角函数的定义115

三角函数值的变化118

三角函数的作图119

三角函数的图像119

函数的图像变换121

三角函数的性质125

同角三角函数间的关系式132

2．同角三角函数间的基本关系式132

诱导公式134

两角和与差的三角函数公式141

3．两角和与差的三角函数141

二倍角的正弦、余弦、正切公式144

半角公式150

万能代换公式153

三角函数的和差化积公式154

三角函数的积化和差公式154

斜三角形的解法160

直角三角形的解法160

4．解三角形160

解斜三角形的一般方法161

向量的表示167

自由向量167

第五章 平面向量167

1．平面向量的概念与基本运算167

数量167

向量167

相反向量168

向量加法的结合律168

向量的模168

相同的向量168

单位向量168

零向量168

向量加法的三角形法则168

向量加法的平行四边形法则168

求几个已知向量的和168

一个向量与零向量的和168

向量加法的交换律168

代数量169

平行向量基本定理169

向量的减法法则169

向量减法的三角形法则169

三角形不等式169

向量的倍积（数乘）169

倍积的运算律169

平行向量169

基底和基向量170

线性无关170

平面向量基本定理170

向量的线性相关170

两向量垂直174

向量的夹角174

2．平面向量的数量积与坐标运算174

内积的运算律175

内积的性质175

向量的内积（标量积、数量积、点积）175

位置向量176

向量的直角坐标176

向量的外积（向量积、叉积）176

外积的性质176

外积运算适合下列规律176

两向量垂直的充要条件177

两向量平行的充要条件177

向量的坐标运算177

线段的定比分点公式183

线段的定比分点183

3．线段的定比分点与平移183

平移公式184

三角形重心坐标公式184

不等式的性质188

不等式188

第六章 不等式188

1．不等式的概念与性质188

不等式同解变形的定理189

同解不等式189

不等式的解集189

绝对不等式189

条件不等式189

矛盾不等式189

解不等式189

不等式组的解195

不等式组195

2．不等式的解法195

一元一次不等式195

一元一次不等式组的解集196

一元一次不等式组196

关于绝对值的几个性质197

绝对值不等式197

绝对值不等式的解法198

一元二次不等式201

一元二次不等式的解法202

分式不等式206

无理不等式的解法209

无理不等式209

指数不等式与对数不等式的解法213

指数不等式与对数不等式213

证明不等式常用的定理和推论221

3．不等式的证明221

证明不等式的主要方法222

平面直角坐标系230

1．直线的方程230

第七章 直线与圆的方程230

平面内任意两点间的距离231

数轴上两点间的距离231

斜坐标系231

直角坐标系与斜坐标系互换231

有向线段231

多边形的面积232

三角形的面积232

直线的倾斜角和斜率233

直线的方程233

直线方程的一般形式234

直线方程的截距式234

直线方程的点斜式234

直线方程的斜截式234

直线方程的两点式234

两条直线的交点240

两条直线的平行与垂直240

两条直线所成的角241

两条直线的交角241

三条直线相交于一点的条件242

点到直线的距离242

平行直线系方程251

直线系方程251

不等式表示的区域252

二元一次不等式和它的解252

直线束方程252

经过两条直线交点的直线系方程252

直线型经验公式253

平均值法求直线型经验公式254

选点法求直线型经验公式254

已知曲线求它的方程257

两曲线的交点257

2．曲线和方程257

方程的曲线257

圆的一般方程263

圆的标准方程263

3．圆的方程263

圆263

经过圆上一点的切线方程264

圆和圆的位置关系265

直线和圆的位置关系265

经过圆外一点的切线方程265

圆系方程266

椭圆的标准方程272

椭圆272

第八章 圆锥曲线方程272

1．椭圆的标准方程与几何性质272

离心率274

椭圆的几何性质274

双曲线的标准方程287

双曲线287

2．双曲线的标准方程与几何性质287

双曲线的几何性质288

双曲线的准线方程289

共轭双曲线289

抛物线的几何性质298

抛物线的标准方程298

3．抛物线的标准方程与几何性质298

抛物线298

平面的基本性质（公理1、公理2、公理3）307

1．空间的直线与平面307

第九章 直线、平面、简单几何体307

异面直线所成的角310

两条直线的位置关系310

异面直线的公垂线和距离312

两直线平行的判定315

对应边平行的两角315

异面直线上两点的距离315

三线平行公理（公理4）315

两直线垂直的判定316

直线和平面平行的判定318

直线和平面平行的性质318

直线和平面的位置关系318

直线和平面垂直320

直线和平面垂直的判定321

直线和平面垂直的性质321

三垂线定理及其逆定理323

斜线和平面所成的角323

点在平面上的射影323

平面的斜线323

斜线在平面上的射影323

两个平行平面的公垂线329

两个平面平行的判定329

两平面的位置关系329

两个平面平行的性质329

二面角的平面角332

二面角332

半平面332

两个平面垂直的性质341

两个平面互相垂直341

以集合表示两个平面垂直的性质与判定定理342

两个平面垂直的判定342

直棱柱的性质347

棱柱的性质347

2．简单几何体347

棱柱347

棱柱的分类347

平行六面体347

棱柱的体积348

祖暅原理（公理6）348

棱锥352

三棱锥的顶点在底面的射影353

棱锥的体积353

棱锥的性质353

正棱锥的性质353

正多面体362

多面体362

直角四面体的性质363

直角四面体363

正四面体的性质363

等腰四面体的性质365

等腰四面体365

欧拉定理366

球面368

球带369

球冠369

球体（球）369

两点间的球面距离369

球的截面369

球的切面369

球缺370

空间向量基本定理372

共面向量定理372

3．空间向量及运算372

空间向量372

零向量372

共线向量定理372

两个向量的数量积373

空间两向量的夹角373

平面的法向量375

向量的直角坐标运算，夹角和距离公式375

分步计数原理382

分类计数原理382

第十章 排列、组合和概率382

1．两个计数原理382

不尽相异元素的全排列384

相异元素可以重复的排列384

2．排列、组合384

阶乘384

相异元素没有重复的排列384

环状排列385

排列组合的一些基本公式388

有重复的组合388

没有重复的组合388

杨辉三角393

二项式定理393

3．二项式定理393

二项展开式的性质394

概率399

事件发生的频率399

4．概率399

必然事件399

不可能事件399

随机事件399

等可能性事件399

从集合的角度研究概率400

随机事件的概率与频率的关系400

概率的基本性质400

对立事件402

互斥事件402

互斥事件中有一个发生的概率403

对立事件与互斥事件的关系403

互斥事件的集合解释403

对立事件的集合解释403

相互独立事件同时发生的概率405

相互独立事件405

常见事件的关键词与概率间的关系406

一般地n次独立重复试验常见实例406

独立重复试验中事件发生的概率406

离散型随机变量的分布列412

连续型随机变量412

第十一章 概率与统计412

1．离散型随机变量412

随机变量412

离散型随机变量412

二项分布与实际应用413

期望、方差的性质416

离散型随机变量的期望与方差416

总体特征数的估计421

利用样本频率分布估计总体分布421

2．抽样方法、分布与线性回归421

简单随机抽样421

系统抽样421

分层抽样421

线性回归422

N（μ,σ2）与N（0,1）的联系423

标准正态分布423

正态分布423

正态分布的期望与方差423

正态分布的性质423

数学归纳法429

1．数学归纳法429

第十二章 极限429

数列极限的四则运算439

数列极限的定义439

2．数列的极限439

函数极限的定义446

3．函数的极限446

函数极限的夹逼性定理447

函数极限的四则运算法则447

极限与左、右极限的关系定理447

求函数极限的常用方法448

两个重要的极限448

函数图像的渐近线449

函数在区间（a,b）内连续的定义455

函数在一点单侧连续的定义455

4．函数极限的连续性455

函数在一点连续的定义455

初等函数456

复合函数的连续性定理456

函数在闭区间［a,b］上连续的定义456

闭区间上连续函数的最大最小值定理456

连续函数的运算性质456

基本初等函数456

左、右导数的定义461

求函数f（x）在x0处导数的步骤461

第十三章 导数及其应用461

1．导数的概念及运算461

平均变化率461

导数的定义461

导数的几何意义462

f（x）在［a,b］上可导462

f（x）在（a,b）内可导462

复合函数的导数463

反函数的导数463

函数的可导性与连续性的关系463

求导数的四则运算法则463

法线方程464

切线方程464

导数的物理意义465

瞬时速度465

微分的几何意义474

函数的微分474

2．微分的概念及运算474

求微分的四则运算法则475

利用微分作近似计算475

常用导数公式476

微分中值定理479

3．导数的应用479

求函数最值的方法480

用一阶导数求函数f（x）极值的方法480

判断函数单调性的定理480

函数的极值480

曲线的凸向481

用二阶导数判定函数极值的方法481

二阶导数的中值定理481

描绘函数图像的步骤482

拐点判别法482

曲线的拐点482

用二阶导数判定曲线凸向的方法482

二阶可导函数拐点存在的必要条件482

不定积分与微分的关系495

不定积分495

4．不定积分与定积分495

原函数495

直接积分法496

基本积分公式496

不定积分的运算法则496

第二换元积分法497

第一换元积分法497

积分表的用法498

分部积分法498

微积分基本公式（牛顿—莱布尼茨公式）499

定积分的性质499

定积分的概念499

定积分的几何意义499

旋转体的体积500

平面图形的面积500

平面曲线的弧长501

旋转体的侧面积502

共轭复数503

两复数相等503

第十四章 复数503

虚数单位503

复数503

复数的代数形式的运算506

复数的代数形式506

复数的模507

复数加减的几何意义507

第十五章 坐标变换、参数方程、极坐标512

1．坐标变换512

坐标轴的平移512

坐标轴的平移公式512

利用坐标轴平移化简方程513

中心或顶点在（h,k）的圆锥曲线方程514

坐标轴的旋转516

坐标轴的旋转公式516

利用坐标轴的旋转化简二元二次方程516

2．参数方程518

曲线的参数方程518

几种常见曲线的参数方程519

化参数方程为普通方程521

化普通方程为参数方程522

圆的渐开线524

圆的渐开线的参数方程524

3．极坐标525

摆线的参数方程525

极坐标系525

摆线525

曲线的极坐标方程526

极坐标和直角坐标的互化527

等速螺线的极坐标方程530

三种圆锥曲线的统一极坐标方程530

等速螺线530

第十六章 部分选修内容532

1．算法初步532

2．推理与证明540

3．矩阵与变换546

4．数列与差分557

5．初等数论初步564

6．优选法与试验设计初步575