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第0章 一个分支过程的例子1

0.0引言1

0.1典型孩子（下一代）的个数X1

0.2第n代个体的数目Zn2

0.3利用条件期望3

0.4消亡概率π4

0.5停下来思考：测度5

0.6我们的第一个鞅7

0.7期望列的敛散性8

0.8求M∞的分布9

0.9具体的例子10

A部分 基础14

第1章 测度空间14

1.0引言14

1.1代数与σ-代数的定义15

1.2例子：博雷尔（Borel）σ-代数，B （S）， B=B（R）17

1.3有关集函数的定义18

1.4测度空间的定义19

1.5有关测度的定义19

1.6引理：扩张的唯一性，π-系20

1.7卡拉泰奥多里（Caratheodory）扩张定理20

1.8 （（0，1]，B3（0，1]） 上的勒贝格（Lebesgue）测度Leb21

1.9引理：基本不等式22

1.10引理：测度的单调收敛性22

1.11例子与告诫23

第2章 事件25

2.1试验的模型：（Ω，F，P）25

2.2直观含义25

2.3序偶（Ω， F）的例子26

2.4几乎必然（a.s.）27

2.5提醒：lim sup， lim inf， ↓lim，等等28

2.6定义：lim sup En， （En， i。o.）29

2.7博雷尔-肯泰利（Borel-Cantelli）第一引理（BC 1）30

2.8定义：lim inf En， （En， ev）30

2.9练习31

第3章 随机变量32

3.1定义：∑-可测函数，m∑，（m∑）+，b∑32

3.2可测性基本命题33

3.3引理：可测函数的和与积为可测33

3.4复合函数可测性引理34

3.5有关函数列的inf， lim inf等的可测性引理34

3.6定义：随机变量35

3.7例子：掷币35

3.8定义：由Ω上的函数族所产生的σ-代数36

3.9定义：分布，分布函数37

3.10分布函数的性质37

3.11具有给定分布函数的随机变量的存在性38

3.12具有给定分布函数的随机变量的斯科罗霍德（Skorokhod）表示38

3.13生成的σ-代数（一个讨论）40

3.14单调类定理41

第4章 独立性42

4.1独立性的定义42

4.2 π-系引理；更常见的定义43

4.3博雷尔-肯泰利第二引理（B C2）44

4.4例45

4.5一个有关建模的基本问题46

4.6一个掷币模型及其应用46

4.7记号：IID的随机变量（RVs）48

4.8随机过程：马尔可夫（Markov）链48

4.9猴子敲出莎士比亚全集49

4.10定义：尾σ-代数50

4.11定理：柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov） 0-1律51

4.12练习与告诫53

第5章 积分54

5.0符号及其他：μ（f）：=：？fdμ，μ（f；A）54

5.1非负简单函数的积分，SF +55

5.2 μ（f）（f ？ （m∑）+）的定义56

5.3单调收敛定理（MON）56

5.4有关函数的法都（Fatou）引理（FATOU）58

5.5“线性”59

5.6f的正部与负部59

5.7可积函数，？1（S， ∑，μ）59

5.8线性60

5.9控制收敛定理（DOM）60

5.10谢菲（Scheffe）引理（SCHEFFE）61

5.11关于一致可积性62

5.12标准机器62

5.13子集上的积分62

5.14测度fμ（f ？ （m∑）+）63

第6章 期望65

6.0引言65

6.1期望的定义65

6.2收敛性定理66

6.3记号E（X；F）66

6.4马尔可夫不等式67

6.5非负随机变量和67

6.6有关凸函数的詹森（Jensen）不等式68

6.7？p范数的单调性69

6.8施瓦兹（Schwarz）不等式70

6.9 ？2空间：毕达哥拉斯（Pythagoras）定理、协方差及其他71

6.10 ？p空间（1≤p ＜ ∞）的完备性73

6.11正投影74

6.12期望的“初等公式”76

6.13从詹森不等式导出的赫尔德（Holder）不等式77

第7章 一个简单的强大数定律79

7.1“独立性意味着相乘”（又一例！）79

7.2强大数定律（最初的版本）80

7.3切比雪夫（Chebyshev）不等式81

7.4魏尔斯特拉斯（Weierstrass）逼近定理82

第8章 乘积测度84

8.0引言和建议84

8.1乘积可测结构∑1 × ∑285

8.2乘积测度，富比尼（Fubini）定理86

8.3联合分布、联合概率密度函数88

8.4独立性与乘积测度89

8.5 B（R） n=B（Rn）89

8.6 n重扩张90

8.7概率空间的无穷乘积90

8.8关于联合分布存在性的技术性注记91

B部分 鞅论94

第9章 条件期望94

9.1一个启发性例子94

9.2基本定理与定义（柯尔莫哥洛夫，1933）95

9.3直观意义96

9.4作为最小二乘最优预报的条件期望96

9.5定理9.2的证明96

9.6与传统表示的一致性98

9.7条件期望的性质（一张表）99

9.8 9.7节中诸性质的证明100

9.9正则条件概率与概率密度函数102

9.10在独立性假设下的条件化103

9.11对称性的应用（一个例子）104

第10章 鞅105

10.1过滤的空间105

10.2适应的过程105

10.3鞅，上鞅，下鞅106

10.4鞅的一些例子107

10.5公平与不公平赌博108

10.6可料过程，赌博策略109

10.7一个基本原则：你无法改变这个系统！109

10.8停时110

10.9停止的上鞅仍是上鞅111

10.10杜布（Doob）可选停止定理112

10.11等待几乎必然要发生的事113

10.12简单随机游动的击中时114

10.13马尔可夫链的非负上调和函数116

第11章 收敛定理119

11.1图说明一切119

11.2上穿120

11.3杜布上穿引理121

11.4推论121

11.5杜布“向前”收敛定理122

11.6告诫123

11.7推论123

第12章 ？2中的有界鞅124

12.0引言124

12.1 ？2中的鞅：正交增量性125

12.2 ？2中的零均值独立随机变量之和126

12.3随机信号128

12.4一个对称化技巧：扩展样本空间128

12.5柯尔莫哥洛夫三级数定理130

12.6蔡查罗（Cesaro）引理131

12.7克罗内克（Kronecker）引理131

12.8方差约束下的强大数定律132

12.9柯尔莫哥洛夫截尾引理133

12.10柯尔莫哥洛夫强大数定律（SLLN）134

12.11杜布分解135

12.12尖括号过程（M）136

12.13 （M）∞有限时M相应的收敛性136

12.14一个有关？2中鞅的平凡“强大数定律”138

12.15博雷尔-肯泰利引理的莱维（Levy）推广139

12.16评论140

第13章 一致可积性141

13.1“绝对连续”性141

13.2定义：一致可积族142

13.3一致可积性的两个简单的充分条件143

13.4条件期望的一致可积性143

13.5依概率收敛144

13.6有界收敛定理（BDD）的初等证明145

13.7 ？1收敛的一个充要条件146

第14章 一致可积（UI）鞅148

14.0引言148

14.1一致可积鞅148

14.2莱维的“向上”定理149

14.3柯尔莫哥洛夫0-1律的鞅证明150

14.4莱维的“向下”定理151

14.5强大数定律的鞅证明152

14.6杜布的下鞅不等式153

14.7重对数律：特殊情形154

14.8有关正态分布的一个标准估计156

14.9关于指数界的附注；大偏差理论157

14.10赫尔德不等式的一个推论157

14.11杜布的？p不等式158

14.12有关“乘积”鞅的角谷（Kakutani）定理159

14.13拉东-尼科迪姆（Radon-Nikodym）定理160

14.14拉东-尼科迪姆定理与条件期望164

14.15似然比与等价测度164

14.16似然比与条件期望165

14.17再回到角谷定理；似然比检验的相容性165

14.18有关哈代（Hardy）空间的注记及其他（快速阅读！）166

第15章 应用169

15.0引言169

15.1一个平凡的鞅表示结果170

15.2期权定价；离散时间的布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）公式171

15.3马比诺吉昂（Mabinogion）羊问题175

15.4引理15.3（c）的证明177

15.5 （15.3，d）中结果的证明179

15.6条件概率的递归性180

15.7有关二元正态分布的贝叶斯（Bayes）公式181

15.8单个随机变量的含噪观察值182

15.9卡尔曼-布西（Kalman-Bucy）滤波184

15.10套紧的马具（harness）185

15.11解开的马具1187

15.12解开的马具2187

C部分 特征函数190

第16章 特征函数（CF）的基本性质190

16.1定义190

16.2基本性质191

16.3特征函数的一些应用191

16.4三个关键的结果192

16.5原子193

16.6莱维反演公式193

16.7表196

第17章 弱收敛性197

17.1“漂亮”的定义197

17.2一个“实用”的公式198

17.3斯科罗霍德表示200

17.4 Prob（R）的列紧性201

17.5紧致性202

第18章 中心极限定理203

18.1莱维收敛定理203

18.2记号0与O205

18.3一些重要的估计205

18.4中心极限定理207

18.5例207

18.6引理12.4的特征函数法证明209

附录212

A1章 第1章附录212

A1.1 S1的一个不可测子集A212

A1.2 d-系213

A1.3邓肯（Dynkin）引理213

A1.4唯一性引理1.6的证明214

A1.5 λ-集：“代数”情形215

A1.6外测度216

A1.7卡拉泰奥多里引理217

A1.8卡拉泰奥多里定理的证明218

A1.9 （（0，1]，B（0，1]）上勒贝格测度存在性的证明219

A1.10扩张不唯一之例221

A1.11测度空间的完备化222

A1.12贝尔（Baire）范畴定理223

A3章 第3章附录225

A3.1单调类定理3.14的证明225

A3.2关于生成的σ-代数的讨论226

A4章 第4章附录228

A4.1柯尔莫哥洛夫重对数律228

A4.2斯特拉森（Strassen）重对数律228

A4.3一个马氏链模型229

A5章 第5章附录231

A5.1双重单调阵列231

A5.2引理1.10（a）的关键应用232

A5.3“积分的唯一性”233

A5.4单调收敛定理的证明234

A9章 第9章附录235

A9.1无穷乘积：把事情说清楚235

A9.2 （A9.1， e）的证明236

A13章 第13章附录238

A13.1收敛的方式：定义238

A13.2收敛的方式：相互间关系239

A14章 第14章附录240

A14.1 σ-代数FT（T为一停时）240

A14.2可选抽样定理（OST）的一个特例241

A14.3杜布关于一致可积鞅的可选抽样定理242

A14.4关于一致可积下鞅的结果243

A16章 第16章附录244

A16.1积分号下的微分法244

E章 练习题246

参考文献264

索引267

后记273