2016考研数学常考题型解题方法技巧归纳 数学一 上2025|PDF|Epub|mobi|kindle电子书版本百度云盘下载

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第1篇 高等数学2

1.1 函数、极限、连续2

1.1.1 求几类与复合函数有关的函数表示式2

题型1.1.1.1 已知f（x）和?（x），求f[?（x）]或?[f（x）]2

题型1.1.1.2 求分段点相同的两分段函数的复合函数2

1.1.2 函数的奇偶性3

题型1.1.2.1 判别（证明）函数的奇偶性3

题型1.1.2.2 奇、偶函数性质的应用4

1.1.3 讨论函数的有界性和周期性5

题型1.1.3.1 判定有限开区间内连续函数的有界性5

题型1.1.3.2 判定无穷区间内连续函数的有界性5

题型1.1.3.3 讨论函数的周期性6

1.1.4 理解极限概念7

题型1.1.4.1 正确理解极限定义中的“ε、N”，“ε、δ”，“ε、X”语言的含义7

题型1.1.4.2 正确区别无穷大量与无界变量7

1.1.5 求未定式极限8

题型1.1.5.1 求0／0型或∞／∞型极限8

题型1.1.5.2 求0·∞型极限11

题型1.1.5.3 求∞-∞型极限12

题型1.1.5.4 求幂指函数型（0 0型，∞0型，1∞型）极限12

1.1.6 求数列极限15

题型1.1.6.1 求数列通项为n项和的极限15

题型1.1.6.2 求由递推关系式给出的数列极限17

1.1.7 求几类特殊子函数形式的函数极限18

题型1.1.7.1 求须先考察左、右极限的函数极限18

题型1.1.7.2 求含根式差的函数极限21

题型1.1.7.3 求含或可化为含指数函数差的函数极限21

题型1.1.7.4 求含lnf（x）的函数极限，其中lim fx→□（x）=122

题型1.1.7.5 求含有界变量因子的函数极限22

1.1.8 求含参变量的函数极限lim n-∞ ?（n，x）22

题型 1.1.8.1 求lim?n→∞（n，x），其中?（n，x）为或可化为F（x）g（n）指数函数型23

题型1.1.8.2 求lim?n→∞（n，x），其中?（n，x）为或可化为g（n）F（x）幂函数型23

题型1.1.8.3 求lim?（t，x），其中?（t，x）可化为g（n）F（x）型或F（x）g（t）型24

题型1.1.8.4 求lim?n-∞（n，x）或lim?t→t0（n，x），其中?（n，x）=F（n，x）g（t,x）或?（t，x）=F（t，x）g（t，x）24

1.1.9 已知一极限求其待定常数或含未知函数的另一极限25

题型1.1.9.1 由含未知函数的一（些）极限，求含该函数的另一极限25

题型1.1.9.2 已知极限式的极限，求其待定常数26

1.1.10 比较和确定无穷小量的阶27

题型1.1.10.1 比较无穷小量的阶28

题型1.1.10.2 确定无穷小量为几阶无穷小量29

1.1.11 讨论函数的连续性及间断点的类型29

题型1.1.11.1 判别函数的连续性29

题型1.1.11.2 讨论分段函数的连续性30

题型1.1.11.3 判别函数间断点的类型32

1.1.12 连续函数性质的两点应用33

题型1.1.12.1 证明存在ξ∈[a，b]，使含ξ的等式成立34

题型1.1.12.2 证明方程实根的存在性35

1.2 一元函数微分学37

1.2.1 导数定义的三点应用37

题型1.2.1.1 判断函数在某点的可导性37

题型1.2.1.2 利用导数定义求某些函数的极限40

题型1.2.1.3 利用导数定义讨论函数性质42

1.2.2 讨论分段函数的可导性及其导函数的连续性42

题型1.2.2.1 讨论分段函数的可导性42

题型1.2.2.2 讨论分段函数的导函数的连续性43

题型1.2.2.3 讨论一类特殊分段函数在其分段点的连续性、可导性及其导函数的连续性44

1.2.3 讨论含绝对值函数的可导性44

题型1.2.3.1 讨论绝对值函数|f（x）|的可导性44

题型1.2.3.2 讨论函数f（x）=|?（x）|g（x）的可导性44

1.2.4 求一元函数的导数和微分45

题型1.2.4.1 求复合函数的导数45

题型1.2.4.2 求反函数的导数46

题型1.2.4.3 求隐函数的导数47

题型1.2.4.4 求分段函数的一阶、二阶导数48

题型1.2.4.5 求幂指函数及含多个因子连乘积的函数的导数48

题型1.2.4.6 求由参数方程所确定的函数的导数49

题型1.2.4.7 求某些简单函数的高阶导数49

题型1.2.4.8 求一元函数的微分52

1.2.5 利用函数的连续性、可导性确定其待定常数53

题型1.2.5.1 利用函数的连续性确定其待定常数53

题型1.2.5.2 根据函数的可导性确定其待定常数54

1.2.6 利用微分中值定理的条件及其结论解题55

1.2.7 利用罗尔定理证明中值等式56

题型1.2.7.1 证明中值等式f′（ξ）=0或f″（ξ）=057

题型1.2.7.2 证明存在ξ∈（a，b），使cf′（ξ）=bg′（ξ），其中c，b为常数57

题型1.2.7.3 证明存在ξ∈（a，b），使k（ξ）f′（ξ）＋h（ξ）f（ξ）=Q（ξ）58

题型1.2.7.4 证明存在ξ∈（a，b），使f（ξ）（ξ）＋f′（ξ）（ξ）=059

题型1.2.7.5 证明存在ξ∈（a，b），使（ξ）g（ξ）-f（ξ）g′（ξ）=0（g（ξ）≠0）59

题型1.2.7.6 证明存在ξ∈（a，b），使（ξ）＋g′（ξ）f（ξ）=060

题型1.2.7.7 证明存在ξ∈（a，b），使nf（ξ）十ξf′（ξ）=0（n为正整数）60

题型1.2.7.8 证明存在ξ∈（a，b），使f（ξ）/g（ξ）=f″（ξ）/g″（ξ），即f（ξ）g″（ξ）-f″（ξ）g（ξ）=060

题型1.2.7.9 证明存在ξ∈（a，b），使f′（ξ）＋g′（ξ）[f（ξ）-bξ]=b61

题型1.2.7.1 0证明与定积分有关的中值等式62

1.2.8 拉格朗日中值定理的应用63

题型1.2.8.1 证明与函数改变量（增量）有关的中值（不）等式64

题型1.2.8.2 证明函数与其导数的关系64

题型1.2.8.3 求解与函数差值有关的问题66

题型1.2.8.4 证明多个中值所满足的中值等式66

题型1.2.8.5 求中值的极限位置67

1.2.9 利用柯西中值定理证明中值等式68

题型1.2.9.1 证明两函数差值（增量）比的中值等式68

题型1.2.9.2 证明两函数导数比的中值等式68

1.2.10 泰勒定理的两点应用69

题型1.2.10.1 证明与高阶导数有关的中值（不）等式70

题型1.2.10.2 计算按常规方法不好求的未定式极限71

1.2.11 利用导数证明不等式71

题型1.2.11.1 证明函数不等式72

题型1.2.11.2 证明数值不等式77

1.2.12 讨论函数的性态77

题型1.2.2.1 证明函数在区间Ⅰ上是一个常数77

题型1.2.12.2 证明（判别）函数的单调性78

题型1.2.12.3 讨论函数是否取得极值78

题型1.2.12.4 利用二阶微分方程讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点80

题型1.2.12.5 求曲线凹凸区间与拐点80

题型1.2.12.6 求函数的单调区间、极值、最值83

题型1.2.12.7 求曲线的渐近线85

1.2.13 利用函数性态讨论方程的根86

题型1.2.13.1 讨论不含参数的方程实根的存在性及其个数86

题型1.2.13.2 讨论含参数的方程实根的存在性及其个数87

1.2.14 函数性态与函数图形88

题型1.2.14.1 利用函数性态作函数图形88

题型1.2.14.2 利用函数的图形′确定其导函数的图形89

题型1.2.14.3 利用导函数的图形′确定原来函数的性态90

1.2.15 一元函数徽分学的应用90

题型1.2.15.1 求平面曲线的切线方程和法线方程90

题型1.2.15.2 求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题92

题型1.2.15.3 求解与两曲线相切的有关问题92

题型1.2.15.4 求解与平面曲线的曲率有关的问题93

1.3 一元函数积分学94

1.3.1 原函傲与不定积分的关系94

题型1.3.1.1 原函数的概念及其判定94

题型1.3.1.2 求分段函数的原函数或不定积分95

题型1.3.1.3 利用积分运算与微分运算的互逆关系求解与原函数有关的问题95

1.3.2 各类被积函数不定积分的算法96

题型1.3.2.1 求被积函数为f（x）/g（x）的不定积分，其中f（x）＝g′（x）或f′（x）＝1/g（x）96

题型1.3.2.2 计算被积表达式中出现或可化为f（？（x））和？′（x）dx乘积的不定积分97

题型1.3.2.3 计算被积函数仅为一类函数或为两类不同函数乘积的不定积分98

题型1.3.2.4 计算简单无理函数的不定积分99

题型1.3.2.5 求∫1／（ax＋b）k f（1/（ax＋b）k-1）dx,其中k≠l为正实数102

题型1.3.2.6 求被积函数的分母为或可化为相差常数的两函数乘积的积分102

题型1.3.2.7 求三角函数的不定积分103

题型1.3.2.8 求被积函数含复合对数函数或复合反三角函数为因子函数的积分104

题型1.3.2.9 有理分式函数∫P（x）／Q（x）dx（其中P（x）,Q（x）为多项式）的积分算法104

1.3.3 利用定积分性质计葬定积分106

题型1.3.3.1 利用其几何意义计算定积分106

题型1.3.3.2 计算对称区间上的定积分107

题型1.3.3.3 计算周期函数的定积分109

题型1.3.3.4 利用定积分的常用计算公式计算定积分110

题型1.3.3.5 计算被积函数含函数导数的积分111

题型1.3.3.6 比较和估计定积分的大小113

题型1.3.3.7 求解含积分值为常数的函数方程114

题型1.3.3.8 计算几类须分子区间积分的定积分114

题型1.3.3.9 计算含参数的定积分116

题型1.3.3.10 计算需换元计算的定积分117

题型1.3.3.11 求由定积分表示的变量极限117

1.3.4 求解与变限积分有关的问题117

题型1.3.4.1 计算含变限积分的极限118

题型1.3.4.2 求变限积分的导数120

题型1.3.4.3 求变限积分的定积分122

题型1.3.4.4 讨论变限积分函数的性态123

1.3.5 证明定积分等式124

题型1.3.5.1 证明定积分的变换公式124

题型1.3.5.2 证明含定积分的中值等式125

1.3.6 证明定积分不等式126

题型1.3.6.1 证明积分限相等时不等式两端成为零的积分不等式126

题型1.3.6.2 证明f（x）dx（或|∫b a f（x）dx|）≤k（或≥k），k为常数127

题型1.3.6.3 证明题设中有二阶导数大（或小）于等于零的定积分不等式128

1.3.7 计算反常积分129

题型1.3.7.1 计算无穷区间上的反常积分129

题型1.3.7.2 判别无界函数的反常积分的敛散性，如收敛计算其值132

题型1.3.7.3 判别混合型反常积分的敛散性，如收敛计算其值133

1.3.8 定积分的应用135

题型1.3.8.1 已知曲线方程，求其所围平面图形的面积135

题型1.3.8.2 已知曲线所围平面图形的面积（或其旋转体体积）反求该曲线136

题型1.3.8.3 计算平面曲线的弧长136

题型1.3.8.4 计算平行截面面积已知的立体体积137

题型1.3.8.5 求旋转体体积137

题型1.3.8.6 求旋转体的侧（表）面积140

题型1.3.8.7 求解几何应用与最值问题相结合的应用题141

题型1.3.8.8 计算变力所做的功142

题型1.3.8.9 计算液体的侧压力143

题型1.3.8.10 计算细杆对质点的引力143

题型1.3.8.11 计算函数在区间上的平均值144

1.4 向量代数和空间解析几何145

1.4.1 向量代数及其简单应用145

题型1.4.1.1 用坐标表达式进行向量运算145

题型1.4.1.2 计算向量的数量积、向量积、混合积146

题型1.4.1.3 利用向量运算证明（确定）向量关系148

1.4.2 求平面方程148

题型1.4.2.1 求过已知点的平面方程149

题型1.4.2.2 求过已知直线的平面方程150

题型1.4.2.3 根据平面在坐标轴上的相对位置求其方程150

题型1.4.2.4 求过两平面交线的平面方程151

1.4.3 求直线方程152

题型1.4.3.1 求过已知点的直线方程152

题型1.4.3.2 求过已知点且与已知直线相交的直线方程153

题型1.4.3.3 求与两直线相交的直线方程154

题型1.4.3.4 求直线在平面上的投影直线方程155

1.4.4 讨论直线与平面的位置关系155

题型1.4.4.1 讨论平面间的位置关系155

题型1.4.4.2 讨论直线与直线的位置关系157

题型1.4.4.3 讨论直线与平面的位置关系157

1.4.5 求点到平面或到直线的距离158

题型1.4.5.1 求点到平面的距离158

题型1.4.5.2 求点到直线的距离160

1.4.6 求二次曲面方程和空间曲线在坐标面上的投影方程161

题型1.4.6.1 求坐标面上曲线绕坐标轴旋转所得的旋转曲面方程161

题型1.4.6.2 求空间曲线绕坐标轴旋转所得的曲面方程161

题型1.4.6.3 求母线平行于坐标轴的柱面方程162

题型1.4.6.4 求空间曲线在坐标面上的投影方程163

1.4.7 求解空间解析几何与线性代数、微积分相结合的综合题164

1.5 多元函数微分学及其应用167

1.5.1 正确理解二元函数连续、可偏导及可微之间的关系167

题型1.5.1.1 依定义判别二元函数在某点是否连续、可偏导及可微167

题型1.5.1.2 判别二元函数连续、可偏导、可微之间的关系169

1.5.2 计算多元函数的偏导数和全微分170

题型1.5.2.1 利用隐函数存在定理确定隐函数170

题型1.5.2.2 求抽象复合函数的偏导数170

题型1.5.2.3 计算隐函数的导数173

题型1.5.2.4 求方向导数和梯度175

题型1.5.2.5 求二元函数的全微分177

1.5.3 多元函数微分学的应用177

题型1.5.3.1 已知空间曲线的参数方程，求其切线或法平面方程177

题型1.5.3.2 已知空间曲线为两曲面的交线，求其切线或法平面方程178

题型1.5.3.3 已知空间曲面方程，求其切平面或法线方程180

题型1.5.3.4 求二元函数的极值和最值181

题型1.5.3.5 求二（多）元函数的条件极值184

1.6 多元函数积分学186

1.6.1 利用区域的对称性化简多元函数的积分186

题型1.6.1.1 计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的重积分186

题型1.6.1.2 计算积分区域关于直线y=x对称的二重积分188

题型1.6.1.3 计算积分区域具有轮换对称性的三重积分189

题型1.6.1.4 计算积分曲线（面）具有对称性的第一类曲线（面）积分189

题型1.6.1.5 计算平面积分曲线关于y=x对称的第一类曲线积分190

题型1.6.1.6 计算空间积分曲线（曲面）具有轮换对称性的第一类曲线（曲面）积分190

1.6.2 交换积分次序及转换二次积分191

题型1.6.2.1 交换二次积分的积分次序191

题型1.6.2.2 转换二次积分192

1.6.3 计算二重积分194

题型1.6.3.1 计算被积函数分区域给出的二重积分194

题型1.6.3.2 计算圆域或部分圆域上的二重积分195

1.6.4 计算三重积分197

题型1.6.4.1 计算积分区域的边界方程均为一次的三重积分197

题型1.6.4.2 计算积分区域为旋转体的三重积分197

题型1.6.4.3 计算积分区域由球面或球面与锥面所围成的三重积分198

题型1.6.4.4 计算被积函数至少缺两个变量的三重积分199

题型1.6.4.5 计算易求出其截面区域上的二重积分的三重积分200

1.6.5 计算曲线积分201

题型1.6.5.1 计算第一类平面曲线积分201

题型1.6.5.2 求解平面上与路径无关的第二类曲线积分有关问题202

题型1.6.5.3 计算平面上与路径有关的第二类曲线积分205

题型1.6.5.4 计算空间第二类曲线积分208

题型1.6.5.5 计算积分曲线具有对称性的第二类曲线积分210

1.6.6 计算曲面积分211

题型1.6.6.1 计算第一类曲面积分211

题型1.6.6.2 计算第二类曲面积分215

题型1.6.6.3 计算积分曲面具有对称性的第二类曲面积分221

题型1.6.6.4 已知第二类曲面积分的值，求被积式中的未知函数222

1.6.7 多元函数积分学的应用222

题型1.6.7.1 计算空间曲线的弧长222

题型1.6.7.2 求曲面面积223

题型1.6.7.3 计算立体体积224

题型1.6.7.4 求质量、质心、形心及转动惯量226

题型1.6.7.5 计算变力沿曲线所做的功229

题型1.6.7.6 计算物体对质点的引力231

题型1.6.7.7 计算向量场的散度与流量（通量）232

题型1.6.7.8 计算向量场的旋度与环流量233

1.7 级数235

1.7.1 判别三类常数项级数的敛散性235

题型1.7.1.1 判别正项级数的敛散性235

题型1.7.1.2 判别交错级数的敛散性239

题型1.7.1.3 判别任意项级数的敛散性242

1.7.2 证明常数项级数的敛散性244

题型1.7.2.1 证明一般项为或可化为相邻两项代数和的级数的敛散性244

题型1.7.2.2 已知一级数收敛，证明相关级数收敛245

题型1.7.2.3 已知一般项有极限，证明该级数的敛散性246

题型1.7.2.4 证明（判别）一般项为（含）定积分的级数的敛散性246

题型1.7.2.5 证明一般项用递推关系式给出的级数的敛散性247

题型1.7.2.6 已知函数高阶可导，证明由该函数值组成的级数的敛散性247

1.7.3 幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法248

1.7.4 求幂级数与数项级数的和250

题型1.7.4.1 求∞∑n＝1 P（n）xn的和函数，P（n）为n的多项式250

题型1.7.4.2 求∞∑n＝0 1／Q（n） xn的和函数，Q（n）为n的多项式252

题型1.7.4.3 求含阶乘因子的幂级数的和函数254

题型1.7.4.4 求数项级数的和256

1.7.5 将简单函数间接展开成幂级数259

题型1.7.5.1 求反三角函数的幂级数展开式259

题型1.7.5.2 将对数函数展成幂级数260

题型1.7.5.3 将有理分式函数展成幂级数260

题型1.7.5.4 将三角函数展成幂级数261

题型1.7.5.5 利用幂级数展开式求函数的高阶导数261

1.7.6 傅里叶级数261

题型1.7.6.1 将周期函数展为傅里叶级数261

题型1.7.6.2 求傅里叶系数266

题型1.7.6.3 求傅里叶级数的和函数在某点的值267

1.8 常微分方程268

1.8.1 求解一阶线性微分方程268

题型1.8.1.1 求解可分离变量的微分方程268

题型1.8.1.2 求解齐次方程269

题型1.8.1.3 求解一阶线性方程270

题型1.8.1.4 求解几类可化为一阶线性方程的方程270

题型1.8.1.5 求解方程P（x，y）dx＋Q（x，y）dy=0272

题型1.8.1.6 求解由变量的增量关系给出的一阶方程274

题型1.8.1.7 求满足某种性质的一阶微分方程的特解274

1.8.2 求解线性微分方程276

题型1.8.2.1 利用线性微分方程解的结构和性质求解有关问题276

题型1.8.2.2 求解可降阶的二阶微分方程277

题型1.8.2.3 求解高阶常系数齐次线性方程278

题型1.8.2.4 求解二阶常系数非齐次线性方程280

题型1.8.2.5 变换已知的微分方程为新的形式，并求其解283

题型1.8.2.6 求解欧拉方程284

题型1.8.2.7 求解含变限积分的方程285

题型1.8.2.8 求解可化为一阶线性微分方程的函数方程286

1.8.3 已知特解反求其常系数线性方程286

题型1.8.3.1 已知特解反求其齐次方程286

题型1.8.3.2 已知特解反求其非齐次方程287

1.8.4 用微分方程求解几何和物理中的简单应用题288