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目 录序第一章函数与极限第一节函数概念1

一、历史上的简单回顾（1） 二、函数概念（3） 三、应注意的几个问题9

第二节极限概念9

一、极限概念教学的简单回顾（9） 二、对用ε-б（？-N）讲述极限概念的不同看法10

三、极限概念（10） 四、极限的一些定理17

第三节连续函数27

一、连续函数概念的历史回顾（27） 二、函数的连续性（28） 三、间断点31

四、连续函数的运算（31） 五、连续函数在闭区间上的性质34

六、连续函数的反函数（35） 七、基本初等函数及初等函数的连续性37

第二章一元函数微分学第一节 引 言38

一、微积分产生的因素（38） 二、一元函数微分学所要解决的一些问题38

三、导数是解决问题的主要手段（38） 四、微分法是解决问题的基本运算38

第二节一元函数变化率39

五、一元微分学的基本理论39

一、问题的引出（39） 二、非均匀变化下快慢程度的表示（39） 三、函数的可导与连续性的关系40

第三节微 分40

一、怎样求△y（40）． 二、微分概念及其性质（41） 三、几点注意42

第四节Rolle定理43

一、要不要严格证明定理，存在两种截然不同的看法（43） 二、Rolle定理的教学中常会遇到的问题44

第五节Lagrange定理47

一、关于Lagrange定理的证明（47） 二、Lagrange定理的意义49

三、引导学生得到的一些结果50

第六节Cauchy均值定理52

一、Cauchy公式的直观描述（52） 二、构造辅助函数？（x）证明Cauchy公式53

第七节L Hospital法则54

一、L Hospital法则提出及其直观意义（54） 二、L Hospital法则（0/0型）54

三、当x→∞时的不定型：0/0型（57） 四、不定型∞/∞型58

第八节Taylor公式59

一、Taylor公式的历史背景（59）二、Tayloг公式的实质（61）三、多项式Pn（x）的展开式（61） 四、物理上所要求的条件（62）五、阶的估计（62） 六、Taylor公式的余项（63） 七、举例64

第九节函数增减性65

一、函数增减性（65） 二、用导数判断函数的增减性66

第十节函数的极值69

一、函数极值是函数的局部性态（69） 二、函数极值的判别69

第十一节 函数的凸凹性与凸函数73

一、凸函数概念（73） 二、函数凸性的条件（77） 三、Jenson不等式79

四、拐点（80）五、函数凸凹性的几种定义方式81

第十二节渐近线81

一、渐近线概念（81） 二、渐近线的定义82

第十三节曲 率83

一、曲线弯曲程度的描述（83） 二、弧微分（84） 三、曲率计算公式85

第三章多元函数微分学第一节多元函数的极限与连续86

一、平面点集（86） 二、多元函数的定义（88）三、多元函数的极限概念（88）四、多元函数的连续性（92）五、多元连续函数的运算（93）六、多元连续函数的性质94

第二节偏导数与高阶偏导数94

一、当自变量发生变化时，函数变化的快慢程度问题（94） 二、偏导数的概念95

三、函数的偏导数与连续性的关系（96）四、高阶偏导数97

第三节全微分100

一、第一种处理方法（100） 二、第二种处理方法（102） 三、第三种处理方法103

第四节方向导数、弱微分和梯度105

一、方向导数（105） 二、强微分与弱微分（106） 三、梯度108

第五节复合函数的微分法109

一、多元复合函数的概念（109） 二、多元复合函数微分法问题的提法109

三、链式法则（110） 四、一阶微分形式的不变性112

第六节隐函数微分法113

第七节多元函数的Taylor公式118

第八节多元函数的极值120

一、多元函数的极大值与极小值（120） 二、多元函数极值的必要条件121

三、多元函数极值的充分条件123

第九节多元函数的最大值与最小值125

第十节多元函数的条件极值127

一、第一种导出Lagrange乘数法的方法（127） 二、第二种导出Lagrange乘数法的方法128

第十一节多元函数微分学在几何上的应用130

一、曲面的切平面和法线（130） 二、曲线的切线与法平面131

第四章一元函数积分学第一节不定积分133

一、原函数、不定积分和积分常数（133） 二、换元积分法和分部积分法142

三、几类可以表为有限形式的不定积分151

第二节定积分166

一、定积分的概念（166） 二、定积分存在的条件和可积函数的种类（170） 三、定积分的性质（178） 四、微积分学基本定理（188） 五、定积分的换元积分法和分部积分法（194） 六、定积分的应用199

第三节广义积分211

一、无穷积分（211） 二、瑕积分（221） 三、广义积分与无穷级数的关系226

第五章 多元函数积分学第一节二重积分、三重积分227

一、二重积分的概念（227） 二、三重积分的概念（228） 三、二重积分的计算229

四、三重积分的计算（237） 五、重积分的变量替换242

第二节多元函数积分的定义、第一类曲线积分、第一类曲面积分247

一、多元函数积分的定义（247） 二、多元函数的可积性和多元函数积分的性质252

三、第一类曲线积分的计算（255） 四、第一类曲面积分的计算259

第三节第二类曲线积分261

一、第二类曲线积分的概念（261） 二、第二类曲线积分的计算264

第四节第二类曲面积分267

一、曲面的侧和曲面的定向（267） 二、第二类曲面积分的概念（268） 三、第二类曲面积分的计算272

第五节Green公式、Gauss公式、Stokes公式279

一、Green公式（279） 二、平面曲线积分与路径的无关性（291） 三、Gauss公式（300） 四、Stokes公式305

第六章常数项级数第一节常数项级数的基本概念与简单性质308

一、无穷数列与无穷级数（308） 二、级数的一般性质311

第二节正项级数317

一、正项级数收敛的充分与必要条件（317） 二、正项级数的比较判别法318

三、正项级数的比值判别法（321） 四、正项级数的根值判别法326

五、正项级数的积分判别法329

第三节任意项级数332

一、交错级数（332） 二、绝对收敛与条件收敛333

第四节收敛级数运算性质336

一、分配律的适用性（336） 二、结合律的适用性（336） 三、交换律的适用性337

四、级数的乘法338

第七章函数项级数第一节函数序列与函数项级数341

第二节函数项级数的一致收敛及其判别法342

一、一致收敛概念（342） 二、一致收敛的判别法347

第三节函数项级数的和函数的性质350

一、和函数的连续性（351） 二、函数项级数的逐项积分定理（352） 三、函数项级数的逐项微分定理353

第四节幂级数356

一、收敛域及收敛半径（357） 二、收敛半径的求法（361） 三、幂级数的性质363

第五节函数展成幂级数367

一、将函数展开成幂级数（367） 二、一些初等函数展开为幂级数370

第六节傅里叶级数373

一、傅里叶级数的引进（373）二、周期函数（374）三、基本三角函数系的正交性375

四、傅里叶系数（376）五、收敛问题（377）六、正弦展开和余弦展开（380）七、傅里叶级数的逐项积分和逐项微分（385）八、以2l为周期的傅里叶级数386

第八章微分方程第一节微分方程的提出和它的一些基本概念390

第二节一阶微分方程393

一、变量分离型微分方程（393）二、一阶线性微分方程（396） 三、可化为线性的微分方程（398）四、一阶齐次方程（399）五、可化为齐次的微分方程（401）六、全微分方程（403）七、可化为全微分的方程（405）八、杂题408

第三节可降阶的高阶微分方程411

一、y(n)=f（x）型的高阶微分方程（411）二、y″=f（x,y′）型的高阶微分方程411

三、y″=f（y,y′）型的高阶微分方程412

第四节线性微分方程解的结构414

一、线性齐次方程解的结构（414）二、线性非齐次微分方程解的结构418

第五节常系数线性齐次微分方程423

第六节常系数线性非齐次微分方程427

一、f(x)=Pm(x)（428）二、f(x)=erxPm(x)（430）三、f(x)=e？？〔P？(x)cosωx+Pn(x)sin ωx〕432

第七节可化为常系数的线性微分方程434

附 录英汉人名对照表436