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第一章 基本知识1

1.1 数值方法1

1.2 误差1

1.2.1 误差的来源1

1.2.2 绝对误差与相对误差2

1.2.3 四舍五入3

1.2.4 有效数字4

1.3 计算机浮点数及舍入误差5

1.3.1 计算机浮点数系统5

1.3.2 用计算机浮点数表示实数7

1.3.3 浮点数的舍入误差8

1.3.4 浮点数算术运算的舍入误差8

1.4 向量范数与矩阵范数10

1.4.1 向量范数和向量序列极限10

1.4.2 矩阵范数和矩阵序列极限14

1.4.3 从属向量范数的矩阵范数19

1.5 线性方程组的性态，算法的稳定性25

1.5.1 线性方程组的性态25

1.5.2 算法的稳定性27

习题一28

第二章 求解线性方程组的数值方法29

2.1 直接法29

2.1.1 Gauss消去法与选主元Gauss消去法30

2.1.2 矩阵三角分解38

2.1.3 有关定理42

2.1.4 求解正定方程组的Cholesky方法46

2.1.5 求解三对角方程组的追赶法50

2.2 迭代法53

2.2.1 逐次逼近法53

2.2.2 Jacobi迭代法57

2.2.3 Gauss-Seidel迭代法60

2.2.4 有关基本概念62

2.2.5 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性65

2.2.6 超松弛迭代法68

2.3 共轭斜量法71

2.3.1 共轭斜量法的基本思想72

2.3.2 A－共轭向量组和向量组的A－共轭化74

2.3.3 共轭斜量法75

2.3.4 求解非奇异方程组81

习题二82

第三章 非线性方程（组）的数值解法86

3.1 求非线性方程实根的对分法87

3.2 单个非线性方程的迭代法91

3.2.1 迭代法的一般原理91

3.2.2 迭代法的几何意义92

3.2.3 收敛性分析93

3.3 单个非线性方程的Newton法98

3.4 解非线性方程组的数值方法102

3.4.1 简单迭代法103

3.4.2 Newton法及其变形106

习题三112

第四章 最小二乘方法115

4.1 曲线拟合问题115

4.1.1 一个简单的曲线拟合例子115

4.1.2 曲线拟合问题117

4.2 最小二乘方法120

4.2.1 正交性的有关性质121

4.2.2 矩阵的QR分解123

4.2.3 最小二乘解的存在唯一性124

4.2.4 Householder矩阵与矩阵的正交三角化126

4.2.5 求最小二乘解的方法134

4.3 奇异值分解与广义逆矩阵137

4.3.1 奇异值分解137

4.3.2 广义逆矩阵140

4.3.3 用奇异值分解求最小二乘解141

习题四143

第五章 矩阵特征值问题的数值方法145

5.1 特征值与特征向量145

5.2 Hermite矩阵特征值问题148

5.2.1 Hermite矩阵的有关性质148

5.2.2 极值定理150

5.2.3 Hermite矩阵特征值的性态152

5.3 矩阵的正交相似约化153

5.3.1 平面旋转矩阵与实对称矩阵的相似约化153

5.3.2 相似约化为上Hessenberg矩阵155

5.4 Jacobi方法157

5.4.1 用Jacobi方法计算矩阵特征值157

5.4.2 用Jacobi方法计算矩阵特征向量159

5.5 QR方法160

5.5.1 两个基本定理160

5.5.2 QR算法161

5.5.3 带原点位移的QR算法168

5.6 乘幂法与反幂法169

5.6.1 求按模最大特征值和特征向量的乘幂法169

5.6.2 求按模最小特征值及相应特征向量的反幂法172

5.6.3 求近似特征值的特征向量的反幂法173

习题五174

第六章 插值法178

6.1 插值法和插值多项式的存在唯一性178

6.1.1 插值法178

6.1.2 插值多项式的存在唯一性179

6.2 Lagrange插值181

6.3 Newton插值184

6.3.1 逐次线性插值184

6.3.2 差商与Newton插值公式186

6.3.3 差分与等距节点的Newton插值公式191

6.4 Hermite插值198

6.4.1 Hermite插值问题解的存在唯一性198

6.4.2 Hermite插值的误差估计200

6.5 样条函数插值201

6.5.1 分段线性插值202

6.5.2 样条函数与三次样条插值204

6.5.3 k次B－样条209

习题六215

第七章 函数逼近219

7.1 正交多项式及其应用219

7.1.1 常用的正交多项式及其性质220

7.1.2 Chebyshev多项式及其应用225

7.2 C［a,b］空间中的最佳一致逼近231

7.2.1 最佳逼近元的存在性231

7.2.2 最佳一致逼近元的充要条件234

7.2.3 最佳一致逼近元的唯一性235

7.2.4 关于最佳一致逼近元的求解236

7.3 内积空间中的最佳平方逼近238

7.3.1 内积空间238

7.3.2 内积空间中的最佳平方逼近239

7.3.3 几种情形的最佳平方逼近242

7.4 快速Fourier变换（FFT）245

7.4.1 周期函数的最佳平方逼近245

7.4.2 离散Fourier变换（DFT）245

7.4.3 快速Fourier变换（FFT）249

习题七256

第八章 数值积分257

8.1 数值求积公式及其代数精确度257

8.2 插值型求积公式259

8.2.1 Newton-Cotes求积公式259

8.2.2 复化型求积公式265

8.2.3 数值求积中的一种误差估计方法269

8.3 Romberg积分方法271

8.3.1 Richardson外推法271

8.3.2 Romberg求积方法274

8.4 Gauss型求积公式278

8.4.1 Gauss型求积公式278

8.4.2 Gauss型求积公式的构造282

习题八286

第九章 常微分方程的数值方法288

9.1 初值问题的数值方法288

9.1.1 基本概念288

9.1.2 Euler方法和改进的Euler方法290

9.1.3 Runge-Kutta方法295

9.1.4 线性多步法303

9.1.5 收敛性和稳定性316

9.1.6 微分方程组和高阶方程327

9.1.7 刚性方程组330

9.2 边值问题的数值方法332

9.2.1 基本概念332

9.2.2 打靶法333

9.2.3 有限差分法343

习题九350

参考文献354