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第一篇 无穷级数1

第一章 数项级数2

1收敛、发散概念和柯西收敛准则2

1.1收敛、发散概念2

1.2收敛级数的基本性质及其运算5

1.3柯西收敛准则及其推论7

2正项级数的敛散性判别11

2.1比较原理11

2.2积分判别法15

2.3达朗贝尔判别法和柯西判别法17

3任意项级数的敛散性判别24

3.1阿贝尔变换和引理24

3.2阿贝尔判别法和狄利克来判别法26

3.3绝对收敛与条件收敛30

4级数的运算性质34

4.1级数的重排34

4.2级数的结合律35

4.3级数的乘法36

第二章 函数级数39

1收敛域与和函数39

1.1收敛域39

1.2和函数41

1.3收敛域的逐点判别定理41

2函数级数的一致收敛42

2.1一致收敛43

2.2一致收敛的判别法45

2.3内部一致收敛51

3和函数的性质54

3.1和函数的连续性55

3.2逐项积分性质56

3.3逐项微商定理57

第三章 幂级数59

1收敛域结构及其求法59

1.1收敛域的结构59

1.2收敛半径的求法61

1.3幂级数的运算性质65

2和函数的性质70

2.1逐项求导级数的收敛半径70

2.2内部一致收敛性71

2.3和函数的性质72

2.4在x=x0点的幂级数74

3初等函数的幂级数表示77

3.1必要条件78

3.2充分条件80

3.3初等函数在x=0点的泰勒展式81

3.4在x=x0点的泰勒展开86

第四章 付立叶级数90

1形式付立叶级数90

1.1三角函数系及其直交性90

1.2付立叶系数92

1.3形式付立叶级数93

1.4贝塞尔不等式和黎曼引理96

2收敛定理98

2.1引理和命题98

2.2收敛定理105

2.3付立叶级数的指数形式113

3付立叶级数的逐项积分和逐项微商117

3.1一致收敛定理117

3.2逐项积分定理120

3.3逐项微商定理121

4一般区间上的结论125

4.1收敛定理及其推论125

4.2微分法128

5付立叶积分公式132

5.1形式公式132

5.2基本引理134

5.3付立叶积分公式135

6二重付立叶级数139

6.1收敛定理139

6.2推论141

7狄利克来收敛定理143

7.1第二中值定理143

7.2狄利克来引理146

7.3狄利克来收敛定理149

8广义付立叶级数150

8.1内积概念和基本不等式150

8.2正交归一化系151

8.3广义付立叶级数及其收敛概念152

8.4完全系统的概念及其判别154

第二篇 常微分方程156

第五章 常微分方程中的名词和概念156

1实际问题中的微分方程156

1.1什么是微分方程156

1.2实际问题中的微分方程157

2微分方程中的名称160

2.1微分方程的阶160

2.2线性方程和非线性方程161

3微分方程的解162

3.1微分方程的解162

3.2微分方程的通解163

3.3定解问题的解164

3.4方向场的概念和解的几何解释165

3.5定解问题的研究课题167

第六章 一阶微分方程的初等解法170

1可分离变量的方程170

1.1可分离变量的方程170

1.2齐次方程171

1.3准齐次方程173

2一阶线性方程177

2.1齐次线性方程178

2.2非齐次线性方程178

2.3伯努利方程181

3恰当方程和积分因子186

3.1恰当方程的概念186

3.2恰当方程的判别186

3.3积分因子的概念191

3.4积分因子的求法192

4一阶隐式方程199

4.1参数形式的解199

4.2方程y=f（x，y′）200

4.3方程x=f（y，y′）202

5解题的灵活性和应用举例204

5.1解题的灵活性204

5.2应用举例209

第七章 高阶方程和方程组的解法218

1特殊的非线性高阶方程的解法218

1.1dny/dxn=f（x）型的方程218

1.2y″=f（x，y′）型的方程220

1.3y″=f（y，y′）221

1.4解题的灵活性222

2二阶线性方程的解法227

2.1通解的结构定理227

2.2置换法和视常数为变数法228

2.3常系数齐次线性方程的通解231

2.4待定系数法234

2.5幂级数解法241

3方程组的初等积分法245

3.1方程组的概念245

3.2方程组的名词245

3.3解方程组的消元法248

3.4解方程组的首次积分法249

4应用举例255

4.1方程式的应用例题255

4.2方程组的应用例题261

第八章 高阶线性方程272

1函数间的线性关系272

1.1函数的线性相关和线性无关概念272

1.2相关性的判别273

2解的存在与唯一性定理275

2.1迭加原理275

2.2解的存在与唯一性定理277

2.3解组的线性关系的判别277

3通解的结构定理280

3.1齐次方程通解的结构定理280

3.2非齐次方程通解的结构定理281

4高阶线性方程的解法283

4.1常系数齐次方程的基本解组283

4.2欧拉（Euler）方程286

4.3解非齐次方程的待定系数法288

第九章 一阶线性方程组294

1解的存在与唯一性定理294

1.1迭加原理294

1.2解的存在与唯一性定理296

1.3解组的线性关系的判别297

2解的结构定理300

2.1齐次线性方程组通解的结构300

2.2非齐次线性方程组通解的结构302

3一阶线性方程组的解法303

3.1常系数方程组的基本解组303

3.2视常数为变数法309

3.3待定系数法311

第十章 解的存在与唯一性定理318

1一阶方程解的存在与唯一性定理318

1.1李普希茨条件318

1.2正规形方程解的存在与唯一性定理318

1.3用逐步逼近法求近似解322

1.4一阶隐式方程解的存在与唯一性定理323

2方程组解的存在与唯一性定理325

2.1李普希茨条件325

2.2一阶方程组的存在与唯一性定理326

2.3一阶线性方程组存在与唯一性定理327

3高阶方程式解的存在与唯一性定理328

3.1基本引理328

3.2存在与唯一性定理330

4奇解331

4.1奇解的概念331

4.2奇解的求法333

第十一章 一阶偏微分方程342

1名称和基本概念342

1.1一阶偏微分方程342

1.2通解和特解343

2一阶线性齐次方程344

2.1特征方程组344

2.2首次积分与通解346

2.3多个自变量的线性齐次方程350

3一阶拟线性方程352

3.1拟线性方程解法352

3.2初值问题的解法354

答案与提示359