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第一章 预备知识1

1.1 引言1

1.2 基本不等式1

1.3 基本不等式应用技巧2

1.4 不等式思想4

1.5 邻城与点集5

1.6 实数点集的有界性与公理7

1.7 函数及其初等性质8

第二章 序列极限17

2.1 引言17

2.2 极限定义及其等价描述17

2.3 极限聚点与子列20

2.4 极限性质21

2.5 极限存在的4个准则23

2.6 标准极限及其应用技巧31

第三章 函数极限33

3.1 函数极限定义及等价性描述33

3.2 极限的运算性及复合极限定理37

3.3 两个标准极限及等价无穷小量38

第四章 连续函数45

4.1 引言45

4.2 函数在一点处连续的概念——微观性态45

4.3 函数在闭区间上连续的概念——宏观性态48

第五章 导数定义与微分概念58

5.1 引言58

5.2 导数定义及其等价性（变形）描述58

5.3 导函数与导数零点定理64

5.4 导数公式与微分法66

第六章 用导数研究函数性态75

6.1 引言75

6.2 微分学基本定理75

6.3 函数的极值、凸性与渐近线81

6.4 洛必达法则与泰勒公式89

6.5 用导数研究函数性态的综合例题Ⅰ96

6.6 用导数研究函数性态的综合例题Ⅱ——不等式121

6.7 与微分学有关的经济数学130

第七章 原函数概念与积分技巧136

7.1 引言136

7.2 原函数概念136

7.3 原函数表示法与变上限积分140

7.4 积分方法与技巧144

7.5 有理分式与三角有理分式的积分158

7.6 综合例题与递推方法165

第八章 定积分概念与性质169

8.1 引言169

8.2 可积性概念性质170

第九章 定积分计算与技巧182

9.1 引言182

9.2 凑微分法与变数替换183

9.3 分部积分187

9.4 区间变换、区间拆分与合并191

第十章 基于定积分的函数性态分析及定积分应用199

10.1 引言199

10.2 定积分综合问题与变限积分206

10.3 定积分应用233

第十一章 广义积分概念及判敛方法255

11.1 引言255

11.2 第一类广义积分概念与判敛255

11.3 第二类广义积分概念与判敛259

11.4 广义积分综合问题262

第十二章 数项级数及判敛方法266

12.1 引言266

12.2 一般性概念266

12.3 正项级数271

12.4 任意项级数与交错级数277

12.5 级数综合例题280

第十三章 函数项级数286

13.1 引言286

13.2 收敛性的一般问题286

13.3 一致收敛问题289

13.4 幂级数的一般性概念294

13.5 幂级数的代数运算性质与解析运算性质298

13.6 泰勒级数与麦克劳林级数300

13.7 级数展开与求和综合例题303

13.8 傅里叶级数312

13.9 傅里叶级数例题316

第十四章 微分方程基本概念及一阶方程与高阶可降阶方程的解法320

14.1 引言320

14.2 微分方程的基本概念320

14.3 一阶可积类型323

14.4 高阶可降阶方程328

14.5 综合题330

第十五章 高阶线性微分方程342

15.1 引言342

15.2 线性方程解的结构342

15.3 线性常系数齐次微分方程的求解349

15.4 线性常系数带非齐次项eaxPn（x）的方程的求解351

15.5 欧拉方程353

15.6 差分方程简介355

15.7 综合题360

第十六章 微分方程的应用375

16.1 引言375

16.2 微分方程在几何方面的应用376

16.3 微分方程在物理、力学方面的应用385

16.4 其他方面应用举例396

第十七章 向量代数400

17.1 引言400

17.2 空间向量的表示方法400

17.3 向量的运算402

17.4 用运算表示向量的几何关系404

17.5 综合题405

第十八章 空间的平面、直线及一些特殊曲面的方程418

18.1 引言418

18.2 平面与直线418

18.3 二次曲面的方程424

18.4 几种特殊曲面427

18.5 综合题433

第十九章 多元函数的连续性与可微性449

19.1 引言449

19.2 多元函数的符号表示及其定义域449

19.3 多元函数的极限452

19.4 多元函数的连续性455

19.5 偏导数与全微分456

19.6 综合题462

第二十章 多元函数的微分法474

20.1 引言474

20.2 多元函数的复合函数求导公式474

20.3 微分形式不变性与微分方式477

20.4 方向导数与梯度484

20.5 综合题487

第二十一章 多元微分学的应用501

21.1 引言501

21.2 空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线501

21.3 多元泰勒公式507

21.4 多元函数极值问题512

21.5 综合问题521

第二十二章 重积分概念与计算536

22.1 引言536

22.2 重积分的概念与性质536

22.3 二重积分的计算540

22.4 三重积分的计算551

22.5 重积分的应用557

22.6 综合例题560

第二十三章 第一、二型曲线积分578

23.1 引言578

23.2 曲线积分的概念578

23.3 格林公式585

23.4 平面积分与路径无关的条件589

23.5 综合例题598

第二十四章 第一、二型曲面积分616

24.1 引言616

24.2 曲面积分的概念与计算616

24.3 高斯化式与斯托克斯公式629

24.4 梯度、散度、旋度与有势场635

24.5 综合例题644

附录1 清华大学微积分试题与答案657

附录2 常用初等函数的导数方式673

附录3 常用初等函数的积分方式674